Dit is de opdracht: Een tas koffie koelt af volgens de vergelijking T'(t)=-k*T(t) (t is de tijd in minuten, T(t) de temperatuur in °C). Verder is de temperatuur na 2 minuten 64°C en na 5 minuten 48.5°C.
Maar nu weet ik niet hoe ik de afname moet vinden. Het moet iets zijn zoals: e^(-0.2348) Hoe moet ik deze waarde vinden?
Ik hoop dat ik het duidelijk heb verwoord.
exponentiële functie
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
Anonymous
- Artikelen: 0
Re: exponenti
Kijk das nou een leuke vraag, dit soort vergelijkingen noemen we differentiaal vergelijkingen (DV). (In dit geval is de DV van de eerste orde omdat de hoogste afgeleide de eerste afgeleide is.)
We beginnen om alles even aan een kant v/h =teken te gooien:
T'(t) = -k*T(t) wordt:
T'(t) + k*T(t) = 0
Nu gaan we een beetje inzicht toepassen, vergelijkingen zoals hierboven hebben meestal een standaardvorm als oplossing, in dit geval:
T(t) = C*e^(at). (met C en a constanten)
Als we dat invullen in de vergelijking krijgen we:
a*C*e^(at) + k*C*e^(at) = 0
We zien nu dat a= -k.
Dus: T(t) = C*e^(-kt).
Nu nog de waarden van k en C, die worden bepaalt door de rand- of beginvoorwaarden.
Dus in dit geval: T(2) = 64 en T(5) = 48,5
Dat geeft dan:
T(2) = C*e^(-2k) = 64
(natuurlijke logaritme van beide zijden nemen)
ln(C*e^(-2k)) = ln(64)
ln© -2k = ln(64)
en voor de tweede voorwaarde:
T(5) = C*e^(-5k) = 48,5
(weer natuurlijke logaritme van beide zijden nemen)
ln(C*e^(-5k)) = ln(48,5)
ln© -5k = ln(48,5)
De eerste min de tweede geeft nu:
ln©-ln©-2k--5k = ln(64)-ln(48,5)
3k = ln(64/48,5)
k = 1/3*ln(64/48,5) = 0,092
Nu kun je deze waarde voor k invullen in een van de twee vergelijkingen om C op te lossen, ik kies hier even de bovenste:
T(2) = C*e^(-2*(1/3*ln(64/48,5)) = 64
En dat geeft dan voor C:
C = 64/(e^(-2*(1/3*ln(64/48,5))) = 76,997
En dat geeft dan voor T:
T(t) = 76,997*e^(-0,092t)
En nu ben ik zelf wel toe aan een tasje.
We beginnen om alles even aan een kant v/h =teken te gooien:
T'(t) = -k*T(t) wordt:
T'(t) + k*T(t) = 0
Nu gaan we een beetje inzicht toepassen, vergelijkingen zoals hierboven hebben meestal een standaardvorm als oplossing, in dit geval:
T(t) = C*e^(at). (met C en a constanten)
Als we dat invullen in de vergelijking krijgen we:
a*C*e^(at) + k*C*e^(at) = 0
We zien nu dat a= -k.
Dus: T(t) = C*e^(-kt).
Nu nog de waarden van k en C, die worden bepaalt door de rand- of beginvoorwaarden.
Dus in dit geval: T(2) = 64 en T(5) = 48,5
Dat geeft dan:
T(2) = C*e^(-2k) = 64
(natuurlijke logaritme van beide zijden nemen)
ln(C*e^(-2k)) = ln(64)
ln© -2k = ln(64)
en voor de tweede voorwaarde:
T(5) = C*e^(-5k) = 48,5
(weer natuurlijke logaritme van beide zijden nemen)
ln(C*e^(-5k)) = ln(48,5)
ln© -5k = ln(48,5)
De eerste min de tweede geeft nu:
ln©-ln©-2k--5k = ln(64)-ln(48,5)
3k = ln(64/48,5)
k = 1/3*ln(64/48,5) = 0,092
Nu kun je deze waarde voor k invullen in een van de twee vergelijkingen om C op te lossen, ik kies hier even de bovenste:
T(2) = C*e^(-2*(1/3*ln(64/48,5)) = 64
En dat geeft dan voor C:
C = 64/(e^(-2*(1/3*ln(64/48,5))) = 76,997
En dat geeft dan voor T:
T(t) = 76,997*e^(-0,092t)
En nu ben ik zelf wel toe aan een tasje.
