verzesvoudiging

[PeterPan]

Van een natuurlijk getal N halen we het laatste cijfer weg en plakken het vóór het getal (b.v. 231 wordt 123).

Door deze actie wordt het getal N verzesvoudigd.

Geef de kleinste waarde voor N die hieraan voldoet.

[eendavid]

wanneer ja 0 niet tot de natuurlijke getallen rekkent is het onmogelijk.

start N=ab..i. hiervoor moet gelden 6*ab..i=b..ia.

opdat 6*ab..i evenveel cijfers bevat moet a=1 zijn. dit betekent dat i een cijfer moet zijn dat na vermenigvuldigen met 6 eindigt op i. contradictie

[PeterPan]

wanneer ja 0 niet tot de natuurlijke getallen rekkent is het onmogelijk.  

start N=ab..i. hiervoor moet gelden 6*ab..i=b..ia.

opdat 6*ab..i evenveel cijfers bevat moet a=1 zijn. dit betekent dat i een cijfer moet zijn dat na vermenigvuldigen met 6 eindigt op i. contradictie

Nee, er moet gelden 6ab..hi = iab...h

[Sybke]

Uitgeprobeert m.b.v. Excel... N > 99999 tot dusver, verder geen zin meer.

[PeterPan]

Uitgeprobeert m.b.v. Excel... N > 99999 tot dusver, verder geen zin meer.

Dat kan ik begrijpen. Ik denk dat je er met Excel niet uitkomt.

[Rogier]

Even een wilde gok:

1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966

Of mag ik een natuurlijk getal ook met een extra nul vooraan noteren? Dan voldoet ook:

0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661

[PeterPan]

Dat is 'm.

[TD]

Is er ook een 'elegante' manier om daar aan te komen, of brute force met een programma'tje?

[Rogier]

Is er ook een 'elegante' manier om daar aan te komen, of brute force met een programma'tje?

Dit was geen brute force hoor

Hoeveel getallen per seconde denk je dat je met brute force kunt proberen, en dus hoeveel eeuw het zou duren om dit getal van 58 cijfers te vinden?

Dus het kan elegant inderdaad, ongeveer zoals hier.

[TD]

Dat was ik al vergeten, mooi

[PeterPan]

Dus het kan elegant inderdaad' date=' ongeveer zoals [url="http://sciencetalk.nl/forum/invision ... 456#124456"']hier[/url].

Ik ben gewoon gaan delen van links naar rechts (staartdeling) en kwam ook op jouw getal uit.

Als je dat gedaan hebt op de manier van de link, dan zie ik daarvan graag een kleine demonstratie.

[Rogier]

6N is te schrijven als

\(p\cdot 10^n+r\)

met 1[kleinergelijk]p[kleinergelijk]9 en r<10ⁿ.

p is hierbij het voorste (meest significante) cijfer van 6N, en r de rest.

Door het voorste getal weer terug achteraan te zetten krijg je 10r+p (=N).

Vergelijking uitwerken:

\(6N = p\cdot 10^n+r = 6(10r+p)\)

\(p\cdot 10^n+r = 60r+6p\)

\(p(10^n-6) = 59r\)

\(p\frac{10^n-6}{59} = r\)

Omdat p en r gehele getallen zijn, moet (10ⁿ-6)/59 dat ook zijn (want p is geen deler van 59). De kleinste n die voldoet aan 59|(10ⁿ-6) is 57.

\(N=10r+p=10p\frac{10^{57}-6}{59}+p\)

is nu een oplossing voor iedere 1[kleinergelijk]p[kleinergelijk]9, dus p=1 is de kleinste, maar p=6 is de kleinste waar je geen extra 0 vooraan hoeft te zetten.

[PeterPan]

Goed gezien! Slim idee om niet van N uit te gaan, maar van 6N.

[EvilBro]

De kleinste n die voldoet aan 59|(10ⁿ-6) is 57.

De methode die je toepast had ik ook. Ik had echter het probleem dat ik niet kon bepalen hoe groot de 'n' moest zijn. Hoe ben je daar achter gekomen?

[PeterPan]

De kleinste n die voldoet aan 59|(10ⁿ-6) is 57.

De methode die je toepast had ik ook. Ik had echter het probleem dat ik niet kon bepalen hoe groot de 'n' moest zijn. Hoe ben je daar achter gekomen?

B.v. als volgt:

Volgens Fermat geldt 59|(10⁵⁸-1)

Als 59|(10ⁿ-6), dan is ook 59|(10ⁿ⁺¹-60) ofwel 59|(10ⁿ⁺¹-1).

Dus n+1 = 58 en n = 57.