limiet

[kylie]

Hoe bereken je

\(\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} \cdots \sqrt{n}}{n\sqrt{n}}\)

?

Edit Moderator (Elmo): ongewenst signature verwijderd.

[TD]

Interessante vraag. Het antwoord is 2/3 maar dat kan ik nog niet direct hard maken.

Een ruwe afschatting levert alvast:

\(\frac{{\sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt 1 } }}{{n\sqrt n }} le \frac{{\sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt k } }}{{n\sqrt n }} le \frac{{\sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt n } }}{{n\sqrt n }} \Leftrightarrow \frac{n}{{n\sqrt n }} le \frac{{\sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt k } }}{{n\sqrt n }} le \frac{{n\sqrt n }}{{n\sqrt n }} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt n }} le \frac{{\sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt k } }}{{n\sqrt n }} le 1\)

Zodat voor n gaande naar oneindig, de uitdrukking ligt tussen 0 en 1.

[evilbu]

Ik kan de ongelijkheid ietsje sterker maken, maar dat is voorlopig ook alles :

het rekenkundig gemiddelde is altijd hoogstens het kwadratisch gemiddelde, toegepast op

\(\sqrt{1},\cdots,\sqrt{n} \)

vinden we :

\(\frac{\sqrt{1}+\cdots+\sqrt{n}}{n}\leq \sqrt{\frac{1+\cdots+n}{n}}=\sqrt{\frac{n+1}{2}}\)

\(\frac{\sqrt{1}+\cdots+\sqrt{n}}{n \sqrt{n}}\leq \sqrt{\frac{n+1}{2 n}}\)

Limiet nemen geeft ons dus dat de gezochte limiet hoogstens

\( \frac{1}{\sqrt{2}} \)

is

[evilbu]

Het schreeuwde eigenlijk al de hele tijd om integralen. Raar dat zowel ik als TD er niet eerder aan gedacht hebben :

We weten dat

\( \forall i\)

\(\int^{i+1}_{i} \sqrt{x-1} dx\leq \sqrt{i}\leq \int^{i+1}_{i}\sqrt{x} dx\)

Dit geeft ons dat

\( \forall n\)

:

\(\int^{n+1}_{1} \sqrt{x-1} dx\leq\sqrt{1}+\cdots+ \sqrt{n}\leq \int^{n+1}_{1}\sqrt{x} dx\)

Werk beide integralen in bovenstaande lijn uit,deel ALLES door

\(\sqrt{ n} n\)

, bereken de limiet van het meest linkse en het meest rechtse, en door de "sandwichtechniek" zal je dan de gewenste limiet zien verschijnen.

[TD]

Daar scheeeuwde het inderdaad om, maar ik zag het niet. Mooi!

[PeterPan]

Hier nog een andere manier om er naar te kijken:

De limiet kan ik zo schrijven:

\(\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n} \left( \sqrt{\frac{1}{n}} + \sqrt{\frac{2}{n}} + \cdots + \sqrt{\frac{n}{n}} \right) \)

en dit is per definitie (stapgrootte 1/n)

\(\int_{0}^{1} \sqrt{x} dx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}|_{0}^{1} = \frac{2}{3}\)

.

[evilbu]

Hier nog een andere manier om er naar te kijken:

De limiet kan ik zo schrijven:

\(\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n} \left( \sqrt{\frac{1}{n}} +  \sqrt{\frac{2}{n}} + \cdots + \sqrt{\frac{n}{n}} \right) \)

en dit is per definitie (stapgrootte 1/n)

\(\int_{0}^{1} \sqrt{x} dx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}|_{0}^{1} = \frac{2}{3}\)

.

Ietsje "vager" dan het mijne , maar wel korter. [rr] Maar wat is je definitie van integraal (met Riemannsommen?)

[PeterPan]

Ietsje "vager" dan het mijne , maar wel korter. [rr]   Maar wat is je definitie van integraal (met Riemannsommen?)

Meer een eigenschap, die onmiddellijk volgt uit de definitie van integraal.

Als f integreerbaar is over [a,b], dan is

\(\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f(a+\frac{k(b-a)}{n}) \)

[evilbu]

Ietsje "vager" dan het mijne , maar wel korter. [rr]   Maar wat is je definitie van integraal (met Riemannsommen?)

Meer een eigenschap, die onmiddellijk volgt uit de definitie van integraal.

Als f integreerbaar is over [a,b], dan is

\(\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f(a+\frac{k(b-a)}{n}) \)

En wel, wat is je definitie?

[PeterPan]

Het unieke getal dat ligt tussen elke onderschatting en elke overschatting.

Dit is ook een manier om die integraal numeriek te berekenen.

[TD]

Ik ben zo vrij geweest om de grenzen van de som te fixen in je LaTeX.

On topic: aardig om er direct die integraal in te zien, elegante oplossing zo!

[evilbu]

Het unieke getal dat ligt tussen elke onderschatting en elke overschatting.

Dit is ook een manier om die integraal numeriek te berekenen.

Ja maar wat is overschatting en onderschatting. Wees volledig aub, we kennen allebei duidelijk (een versie van) de theorie van integralen, maar de subtiele verschillen zijn belangrijk.

[PeterPan]

Ja maar wat is overschatting en onderschatting. Wees volledig aub, we kennen allebei duidelijk (een versie van) de theorie van integralen, maar de subtiele verschillen zijn belangrijk.

Een partitie is een verdeling van een interval (zeg [0,1]).

Bij een partitie (0=a0,a1,a2,...,am=1) hoort een ondersom (bovensom) van f, dit is

\((a1-a0)f(x1) + ... + (am-a(m-1))f(xm)\)

waarbij f(xi) het minimum (maximum) is van f(x) voor x uit [a(i-1),ai].

Als het supremum over alle ondersommen gelijk is aan de infinum over alle bovensommen, dan noemen we dat getal de integraal van f over [0,1].

[kotje]

Bepaal:

\(\lim_{\nrightarrow\infty} ({\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+ ... +\frac{1}{n+n})\)

[TD]

Misschien kan je (onder meer na bovenstaande berichten) zelf het verband vinden met

\(\int\limits_1^2 {\frac{1}{n} , \mbox{d}n} = \ln 2\)