Bewijs voor vergelijking met limiet

[Herman Bastiaans]

Hallo forum,

Kan iemand me misschien helpen met de onderstaande vergelijking.

Ik heb de raket-formule van Tsiolkovsky afgeleid met mijn formule.

Deze formule (die van mij) staat op wetenschapsforum.nl met de volgende link:

sciencetalk.nl/forum/invision/index.php?showforum=15

Twee formules (Herman Bastiaans)

Limiet n naar oneindig (Som k = 0, n ( (1/(nx - k))) = ln(x) – ln(x-1)

Alvast bedankt

[TD]

Kan je misschien duidelijker omschrijven wat je bedoelt? Uit je formule hier maak ik op:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\sum\limits_{k = 0}^n {\frac{1}{{nx - k}}} } \right) = \ln \left( x \right) - \ln \left( {x - 1} \right)\)

Bedoel je dat wel?

[Herman Bastiaans]

Dit is precies wat ik bedoel. In mathematica heb ik wat getallen ingevoerd voor x (ook complexe getallen) met bv n=1000 of n=5000. Dit geeft dus een benadering en afrondingsfoutjes. Een formeel bewijs heb ik echter (nog) niet. De vergelijking komt mij niet bekend voor.

[PeterPan]

Dejà vu [rr]

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\sum\limits_{k = 0}^n {\frac{1}{{nx - k}}} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( \frac{1}{n}{\sum\limits_{k = 0}^n {\frac{1}{{x - \frac{k}{n}}}} } \right) = \int_{0}^{1}\frac{1}{x-y} dy = -\ln(x-y)|_{0}^{1} =\ln \left( x \right) - \ln \left( {x - 1} \right) \)

N.B. De tweede som is de numerieke benadering voor de integraal erna (met stapgrootte 1/n).

[TD]

Als je je afvraagt hoe PeterPan daar opeens aan komt, neem ook eens hier een kijkje.

[kotje]

Nog eentje in dezelfde aard:

\(\lim_{\nrightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin{\frac{kt}{n}}\)

[PeterPan]

\(\lim_{\nrightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin{\frac{kt}{n}} = \frac{1-\cos(t)}{t}\)