Paardensprong

[PeterPan]

Op een "schaakbord" van 4 bij 100 plaatsen we een paard niet aan de rand. Waar moet het paard worden neergezet opdat m.b.v. de paardesprong alle vakken op het schaakbord precies een maal kunnen worden aangedaan?

Of is zo'n paardenrondgang helemaal niet mogelijk?

[raintjah]

Een paard raakt bij een 'paardesprong' vier vakken aan, maar hij staat op slechts twee vakken, namelijk het vakje waar hij vertrok en het vakje waar hij aankomt.

Nu is mijn vraag: wat bedoel je met aangedaan?

[phi hung]

Volgens mij maakt niet uit waar je met de paard begint, je kunt sowieso alle vakken aandoen.

[PeterPan]

Een paard raakt bij een 'paardesprong' vier vakken aan, maar hij staat op slechts twee vakken, namelijk het vakje waar hij vertrok en het vakje waar hij aankomt.

Nu is mijn vraag: wat bedoel je met aangedaan?

Het paard doet een vakje aan, als hij er een keer op komt te staan.

Volgens mij maakt niet uit waar je met het paard begint, je kunt sowieso alle vakken aandoen.

omdat ...?

[raintjah]

Als je een 4 bij 4 vierkant neemt, en je zet je paard erop, dan zie je dat je alle vakjes kan aanraken, dus zal dat sowieso ook kunnen bij een rechthoek van 4 bij 100.

Waarom dat precies is, kan ik niet uitleggen.

[phi hung]

Ik dacht dat ik een oplossing zag, maar ik zie em niet meer.

[kotje]

Een normaal schaakbord bestaat uit 8X8 vakjes en bij een paardesprong verandert men steeds van kleur, er blijkt één manier te zijn om alle vakjes aan te doen:



Gevonden op internet, ben zelf niet zo'n verwoede schaker.

[PeterPan]

Ik denk dat er zeer veel manieren zijn voor een 8x8 schaakbord.

We hebben het hier echter over een 4x100 schaakbord.

[mo]

Als je een 4 bij 4 vierkant neemt, en je zet je paard erop, dan zie je dat je alle vakjes kan aanraken, dus zal dat sowieso ook kunnen bij een rechthoek van 4 bij 100.

Waarom dat precies is, kan ik niet uitleggen.

Probeer eens of het gaat bij een

\(4.8\)

rechthoek.

[eendavid]

ik durf te beweren dat het niet gaat bij een 4x4. Herinner je dat je niet langs een kant mag beginnen, en dat je paard niet van je 4*4 bord mag springen.

[kotje]

Een beeld zoals ik het voorlopig zie:

Ik nummer de vakjes van links naar rechts, zodanig dat de 5 boven de 4 komt, dus vakje 1 links nr1 en vakje links boven nr400. Nu als men een paardesprong maakt gaat men altijd van even vakje naar oneven vakje of omgekeerd door 3,5,7of 9 op te tellen of af te trekken. Nu moet er nog bewezen worden dat men al de vakjes juist één keer kan aandoen?

[raintjah]

ik durf te beweren dat het niet gaat bij een 4x4. Herinner je dat je niet langs een kant mag beginnen, en dat je paard niet van je 4*4 bord mag springen.

Toch gaat het, heb het geprobeerd op papier [rr]

[eendavid]

goed. In de hoop dat we niet hopeloos afwijken [rr]

Bewijs (vakjes worden genummerd zoals in een matrix)

we moeten starten in een vakje (2,2);(2,3);(3,2);(3,3). Wegens rotatiesymmetrie zijn deze equivalent, kies bijvoorbeeld (2,2).

Er zijn steeds 2 vakjes die naar een hoekpunt leiden. Er geldt dus: ofwel is het hoekpunt het einde van de paardenrit, ofwel moet je naar het hoekpunt zodra je op een vakje komt dat het hoekpunt kan bereiken.

(2,2) kan naar 2 hoekpunten (1,4) en (4,1). Een van beide is dan het eindpunt, want degene die je niet kiest heeft nog maar 1 toegangsweg. Kies bijvoorbeeld (4,1) als (hopelijk) eindpunt en spring naar (1,4). de andere situatie is equivalent na transponeren van onze matrix.

In (1,4) hebben we slechts 1 mogelijkheid: (2,2) is al geweest, alleen (3,3) blijft over. (3,3) is echter de enige toegangsweg tot eindpunt die overbleef ((2,2) was al gebruikt). ofwel ga je naar je eindpunt, kan je niet meer weg en heb je niet alle vakjes gedaan. ofwel ga je niet naar je eindpunt en sluit je je weg naar dat eindpunt definitief af.

Besluit: het gaat niet voor een 4x4 matrix

[PeterPan]

Helemaal correct, eendavid. Na 3 sprongen loop je dus dood.

Nu voor een 4 bij 100 bord.

Hint:

Er zijn 4 stroken van 100 vakjes. In de 2 buitenste rijen zetten we in de vakjes een X, in de 2 binnenste rijen een O.

Merk op: Vanuit een X kun je niet naar een andere X springen!

[PeterPan]

Een 4 bij 100 bord bestaat uit 4 stroken van 100 vakjes.

De vakjes in de 2 buitenste rijen noemen we Buiten en

de vakjes in de 2 binnenste rijen Binnen.

Merk op dat je vanaf Buiten alleen naar Binnen kunt springen

en naar Buiten springen kan alleen vanaf Binnen.

Er zijn 200 Buiten-vakjes, en je begint Binnen, dus het pad kan alleen zijn

Binnen,Buiten,Binnen,Buiten,Binnen,Buiten,Binnen,Buiten,...,Binnen,Buiten.

Merk op dat je altijd van een wit vakje naar een zwart vakje kunt springen en omgekeerd.

Blijkbaar hebben dus alle Binnen-vakjes dezelfde kleur en alle Buiten-vakjes ook.

Dat klopt niet, dus een paardesprong over alle vakjes is niet mogelijk.