[wiskunde]hoeveel bolruimte in een kubus.

[oktagon]

Naar aanleiding van een eerdere topic over 3 cirkels tegen elkaar,deze topic:

Een kubus van 1*1*1 m^3 kan een passende bol bevatten met een diameter van 100 cm en dus een inhoud van (pi/6)m^3.

Als ik nu die passende bol vervang door bollen met een diameter van 10 cm,nemen die dan dezelfde ruimte in als de grote bol,dus ook (pi/6)m^3,ondanks het feit dat ze zich goed voegen (in elkaar zakken) ? Of nemen ze meer ruimte in beslag?

Kan ik aannemen dat er meer dan 1000 stuks in gaan,of blijft die hoeveelheid ondanks het in elkaar zakken gelijk;de eerste laag 100 stuks ,de tweede laag minder dan 100 stuks (81 stuks),de derde laag 100 stuks,etc.?Er kunnen wrs. meer dan 10 lagen in!

[PeterPan]

Denk de ruimte gevuld met bollen, allemaal keurig naast elkaar en op elkaar gestapeld, zodat elk punt met gehele coordinaten tussen 8 bollen ligt.

Vermenigvuldig je de ruimte t.o.v. de oorsprong met 1/a (a [rr] ) dan neemt het aantal bollen in de eenheidkubus bij O met een factor a^3 toe terwijl de inhoud per bol met een factor a^3 afneemt. De inhoud binnen de eenheidscubus verandert dus niet.

Een andere ordening is nadelig, maar om dat aan te tonen moet je kennis hebben van dat vakgebied.

[oktagon]

PeterPan,

Ik ben bezig met alleen maar bolletjes van bolvorm met diameter 10 cm;leg ik de eerste laag dan schuiven die in elkaar en kom ik aan 6 rijen van 10 bollen en 5 rijen van 9 bollen,totaal 105 bollen in de eerste laag.

De tweede laag zakt een stukje in de eerste en bevat m.i.minder bollen en wel 90 stuks,de derde laag zakt weer gedeeltelijk in de tweede en heeft weer 105 bollen.

In de hoogte krijg ik-als ik me nu niet vergis,6 lagen van 105 bollen en 5 lagen van 90 bollen;dit wordt totaal 1080 bollen.(Bij 1000 bollen een gelijke volumebezetting!)

Hieruit zou ik kunnen concluderen,dat in deze situatie de ruimte met 8 % meer bolruimte wordt gevuld dan wanneer er 1 bol in de kubus zit.

Hoe dit nog verloopt bij het nemen van bijv.5 cm bollen is een kluif voor na de oliebollen,het percentage nadert tot 100% ( van het totaal kubusvolume)bij de limiet van de minimum bol (bij steeds een gelijke diameter)!

Ik werkte met bijgaande schets:



[rr] [niet] phi.gif phi.gif phi.gif phi.gif phi.gif [rr] [rr] / [rr] [element] [niet]

[PeterPan]

Je kunt best gelijk hebben. Er is een groep mensen die zich met dit soort pakkingsproblemen bezighoudt. Ik word al moe als ik eraan denk om al die bolletjes te moeten tellen. [rr]

Er zijn meerdere manieren om de lagen bollen opelkaar te leggen. Je hebt de eerste laag bekeken. De tweede laag ligt daar iets verschoven bovenop. De derde laag kun je op twee manieren op de tweede leggen weet ik nog wel uit een nare voordracht over dit onderwerp.