Een Differentiaalvergelijking

[kotje]

Los op:

xdy-{y+xy³(1+lnx)}dx=0

Opmerk.

Geen Latex en geen automatisch inloggen met I.E. 7

[PeterPan]

Schrijf de vergelijking in de vorm

xy' - y = xy³(1+ln(x))

Nu is (x/y)' = (y - xy')/y² (quotientregel)

dus (x/y)' = -xy(1+ln(x))

Schrijf z = x/y,

dan is

z' = -x²/z(1+ln(x))

zz' = -x²(1+ln(x))

(z²)' = -2x²(1+ln(x))

z² = -2/3x³(2/3-ln(x)) + c

x/y = z = {-2/3x³(2/3-ln(x)) + c}

y = [plusmin]x/ {-2/3x³(2/3-ln(x)) + c}

[kotje]

Ik meen er een vergelijking Bernouilli in te zien als LaTeX werkt zal ik mijn oplossing geven. De jouwe is nog niet volledig duidelijk voor mij, maar ik kan geen opmerkingen maken.

[kotje]

xdy-{y+xy³(1+lnx)}dx=0

\(\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=(1+\ln{x})y^3\)

Vgl. Bernouilli

\(\frac{1}{y^3}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{y^2x}=(1+\ln{x})\)

\(v=-\frac{1}{y^2} \mbox{ of } \frac{dv}{dx}=-2\frac{1}{y^3}\frac{dy}{dx} \mbox{ of } \frac{1}{y^3}\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2}\frac{dv}{dx}\)

Na wat rekenen:

\(\frac{dv}{dx}+\frac{2v}{x}=-2(1+\ln{x})\)

Lineaire differentiaalvgl in v

Integrerende factor

\( e^{\int P(x)dx}=e^{\ln{x^2}}=x^2\)

Of

\(\frac{d(x^2v)}{dx}=-2x^2(1+\ln{x})\)

De rest is gewoon eenvoudig rekenen en terug vervangen wat me hetzelfde oplevert als PeterPan.Hij heeft de zaak volledig creatief benaderd waar ik meer voorgeschreven regels heb gevolgd.