Limiet

[Phys]

Bereken

\(\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}\)

als hij bestaat, toon anders aan dat hij niet bestaat.

Klopt het als ik zeg:

Stel y=x, dan is de limiet 1/2.

Stel y=(1/2)x, dan is de limiet 2/5.

Dus hij bestaat niet.

?

[TD]

Klopt, algemener: stel y = mx, de limiet hangt af van de parameter m.

[Phys]

Weer bedankt voor de hulp.

Algemeen:

Mag ik bij een willekeurige limiet van twee variabelen (x,y) altijd y=f(x) invullen, dus y = (een willekeurige functie van x)?

*Om aan te tonen dat de limiet niet bestaat, bedoel ik dus*

Of moet je je beperken tot y=mx^n of zelfs y=mx (met m,n constanten)?

[TD]

Een eerste poging kan zijn y = mx (rechten door de oorsprong), maar dat hoeft zeker niet!

Je kan eender welk 'pad' nemen om naar (0,0) te gaan, de limiet moet onafhankelijk zijn van het pad.

[Phys]

Maar ik mag dus ook iets als y=sin(x) nemen? Geen idee of dat ooit bruikbaar is, maar het gaat me even om het idee.

[TD]

Dat mag, maar bijvoorbeeld niet y = cos(x), omdat je x naar 0 laat gaan en ook y moet naar 0 gaan.

Voor y = cos(x) gaat y naar 1 als je x naar 0 laat gaan 0, sin(x) gaat natuurlijk ook naar 0 voor x->0.

[Phys]

Yep, ik wilde in eerste instantie e^x neerzetten, maar besefte dat die per definitie nooit 0 wordt, en 1 voor x=0.

[TD]

Dat zou dan natuurlijk wél weer mogen als je de limiet voor (x,y) -> (0,1) moest bepalen

[Phys]

Oh ja, ik had het net over een willekeurige limiet. Volgens mij begrijp ik het!

Echter, als een limiet van meerdere variabelen wel bestaat, zijn daar ook trucs voor? Want je kunt bijna nooit gewoon invullen. Stel je hebt de onbepaaldheid 0/0. L'hopital werkt niet met 2 variabelen, lijkt me.

De epsilon/delta definitie gebruiken we niet, overigens.

[TD]

Dat is, in het algemeen, lastig. Wanneer je met je trucjes om aan te tonen dat de limiet niet bestaat, steeds hetzelfde uitkomt, kan je vermoeden dat de limiet bestaat (en dan uiteraard gelijk is aan de waarde die je steeds bekomt). Dan kan je dat proberen aan te tonen door afschatting, insluiting tussen andere functies, ...

[Phys]

Okee, dan houd ik hoop op een limiet die niet bestaat, op het tentamen.

De bovenstaande limiet kwam uit het tentamen van vorig jaar.

[TD]

Zie eventueel hier voor een afschatting bij een bestaande limiet.

[Phys]

Handig, ik had nooit goed door wat afschatting was. Duidelijk!

[Morzon]

ik kreeg dinsdag bij mijn tentamen de volgende:

\(\lim_{(x,y,z)\rightarrow(0,0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2+z^2} \)

ik koos y=x en z=0 dan krijg ik 1/2

en daarna z=y=x dan krijg ik 1/3. dus limiet bestaat niet. alleen mag wat ik gedaan heb wel?

[PeterPan]

ik koos y=x en z=0 dan krijg ik 1/2

en daarna z=y=x dan krijg ik 1/3. dus limiet bestaat niet. alleen mag wat ik gedaan heb wel?

Waarom zou dat niet mogen?