Limiet met l'hopital.

[Bert F]

Hoe bepalen we volgende limiet met l'hopital?

\(\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{1-e^{\frac{1}{x}}}{\ln(1+\frac{1}{x})} \)

ik heb al van alles geprobeerd maar helaas. Moeten we na de eerste afgeleide gebruik maken van één of andere definitie?

Groeten Dank bij voorbaat.

[eendavid]

je doelt waarschijnlijk op de rechterlimiet, vermits de linkerlimiet niet gedefinieerd is.

herschrijf het eens met u=1/x, die dan naar +oneindig gaat. Met l'hopital kan je dan eenvoudig aan te tonen dat hij divergeert. Gewoon rechtstreeks met x kan ook, laat anders eens zien waar je de mist ingaat.

[TD]

Ook intuïtief: teller en noemer divergeren maar de teller (e^x) domineert de noemer (ln(x)), divergent (naar -inf).

[Rov]

\(\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{1-e^{\frac{1}{x}}}{\ln(1+\frac{1}{x})} = \lim_{x\rightarrow 0 } \frac{-e^{\frac{1}{x}} \cdot \left( -x^{-2} \right) }{\frac{-x^{-2}}{1+\frac{1}{x}}} = \lim_{x\rightarrow 0 } \left( -e^{\frac{1}{x}} \left(1 + \frac{1}{x} \right) \right)\)

Minteken voor limiet, die e-macht gaat naar + , die e-macht gedeelt door x gaat naar / , nog eens de L'hôpital en dat blijft alleen de e-macht over. -( + ) = - , als ik me niet vergis.

[TD]

Als je echt l'Hôpital wil toepassen, kan je beter eerst overgaan op y = 1/x:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - e^{\frac{1}{x}} }}{{\ln \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \frac{{1 - e^y }}{{\ln \left( {1 + y} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } - e^y \left( {1 + y} \right)\)

[PeterPan]

Je kunt l'Hôpital niet toepassen, omdat een van de eisen is dat

\(\lim_{x \to p} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)

bestaat.

[TD]

Die eis kan je verzwakken door in R* te werken (R met ), je kan l'Hôpital dan nog steeds toepassen hier.

[Bert F]

Ik ben, met oplossen zover geraakt als Rov en krijg dan idd ook een e-de macht die naar -oneindig gaat en een ander ding dat oneindig groot wordt.

Maar de oplossing zou min één moeten zijn??

[Rov]

Volgens mij is de limiet -1 als x .

[TD]

Dat klopt, maar voor x naar 0 is het wel degelijk divergent (- ), misschien is de opgave x naar , dus 1/x naar 0?

[Bert F]

extra fout in boek gevonden. Sorry mannen bedankt Groeten.

[raintjah]

\(\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{1-e^{\frac{1}{x}}}{\ln(1+\frac{1}{x})} = \lim_{x\rightarrow 0 } \frac{-e^{\frac{1}{x}} \cdot \left( -x^{-2} \right) }{\frac{-x^{-2}}{1+\frac{1}{x}}} = \lim_{x\rightarrow 0 } \left( -e^{\frac{1}{x}} \left(1 + \frac{1}{x} \right) \right)\)

Minteken voor limiet, die e-macht gaat naar + , die e-macht gedeelt door x gaat naar , nog eens de L'hôpital en dat blijft alleen de e-macht over. -( + ) = - , als ik me niet vergis.

Hoe ga je van die eerste naar die tweede?

[Morzon]

teller en noemer differentieren

[raintjah]

Ach tuurlijk, L'Hôpital