e^(pi*i) + 1 = 0?

[Rov]

Wat doe ik fout? (Of ben ik nu een genie )

\( \begin{array}{l} e^{i \pi} + 1 = 0 e^{i \pi} = -1 \left( e^{i \pi} \right)^2 = 1 e^{2i \pi} = 1 = e^0 2i \pi = 0 \end{array}\)

[TD]

\( \begin{array}{l}  \left( e^{i \pi} \right)^2 = 1  e^{2i \pi} = 1 \end{array}\)

De complexe exponentiële functie exp(z) is periodisch (periode: 2pi.i), trek 2pi.i van je exponent af en het 'klopt'.

Het gaat dus mis bij die overgang, in het algemeen geldt niet meer: (z^p)^q = z^(pq) voor complexe getallen.

[Isaac Newton]

Wat doe ik fout? (Of ben ik nu een genie )

\( \begin{array}{l} e^{i \pi} + 1 = 0 e^{i \pi} = -1  \left( e^{i \pi} \right)^2 = 1  e^{2i \pi} = 1 = e^0 2i \pi = 0 \end{array}\)

\(2i \pi = 6.28 \end{array}\)

. Toch?

[TD]

\(2i \pi = 6.28 \end{array}\)

. Toch?

Om te beginnen vergeet je de i, maar ook 2pi is helemaal niet "gelijk" aan 6,28.

[PeterPan]

\(1 = e^0 = e^{2\pi i} = e^{4\pi i} = e^{6\pi i} = e^{8\pi i} = \cdots\)

[Morzon]

\(e^{i \pi} \cdot e^{-i \pi} = -1 \cdot -1 =1\)

[TD]

Om PeterPan aan te vullen: omdat exp(z) periodiek is, geldt dus niet meer dat e^z = e^w impliceert z = w.

Wat je eigenlijk doet is zeggen: sin(0) = sin(pi), dus 0 = pi. Uiteraard klopt dat niet, maar voor reële x in exp(x) wel.

Dat komt omdat de inverse (ln(x)) een bijectie is, terwijl dat bgsin(x) en ln(z) (complexe logaritme) meerwaardig zijn.

[Rov]

De complexe exponentiële functie exp(z) is periodisch (periode: 2pi.i), trek 2pi.i van je exponent af en het 'klopt'.

Het gaat dus mis bij die overgang, in het algemeen geldt niet meer: (z^p)^q = z^(pq) voor complexe getallen.

Daar had ik nog niet aan gedacht, inderdaad...

Wat doe ik fout? (Of ben ik nu een genie )

\( \begin{array}{l} e^{i \pi} + 1 = 0 e^{i \pi} = -1  \left( e^{i \pi} \right)^2 = 1  e^{2i \pi} = 1 = e^0 2i \pi = 0 \end{array}\)

\(2i \pi = 6.28 \end{array}\)

. Toch?

Ja, ongeveer, maar dat is mijn punt niet. Die eerste regel staat bekend als Euler's identiteit (http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_identity), met e en pi gekende constanten en i gedifinieerd als (-1). Met mijn minibewijsje (waarvan ik wel al door had dat er een fout in zat) probeerde ik te laten zien dat de identiteit fout was.

[TD]

en i gedifinieerd als (-1).

Hiermee toch voorzichtig zijn, sommigen vinden dat (terecht) vreselijk als 'definitie'

[Morzon]

\(i^2=-1\)

is toch de definitie? niet dat ik snap waarom deze beter is maarja

[Isaac Newton]

De complexe exponentiële functie exp(z) is periodisch (periode: 2pi.i), trek 2pi.i van je exponent af en het 'klopt'.

Het gaat dus mis bij die overgang, in het algemeen geldt niet meer: (z^p)^q = z^(pq) voor complexe getallen.

Daar had ik nog niet aan gedacht, inderdaad...

Wat doe ik fout? (Of ben ik nu een genie )

\( \begin{array}{l} e^{i \pi} + 1 = 0 e^{i \pi} = -1  \left( e^{i \pi} \right)^2 = 1  e^{2i \pi} = 1 = e^0 2i \pi = 0 \end{array}\)

\(2i \pi = 6.28 \end{array}\)

. Toch?

Ja, ongeveer, maar dat is mijn punt niet. Die eerste regel staat bekend als Euler's identiteit (http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_identity), met e en pi gekende constanten en i gedifinieerd als (-1). Met mijn minibewijsje (waarvan ik wel al door had dat er een fout in zat) probeerde ik te laten zien dat de identiteit fout was.

Oké. Sorry, ik ben een noob. Let maar niet op mij.

[TD]

\(i^2=-1\)

is toch de definitie? niet dat ik snap waarom deze beter is maarja

Als je het netjes wil doen, kan je complexe getallen invoeren als geordende paren van reële getallen.

Je definieert daar een gelijkheid, som en vermenigvuldiging op die, zo gekozen, leveren dat (0,1)*(0,1) = (-1,0).

Je identificeert getallen (a,0) met het reële getal a en definieert i = (0,1), de imaginaire eenheid.

Je kan dan elk complex getal (a,b) schrijven als (a,0)+b(0,1) = a+bi en rekenen zoals je gewoon bent, met i² = -1.

[Rov]

Dat komt omdat de inverse (ln(x)) een bijectie is, terwijl dat bgsin(x) en ln(z) (complexe logaritme) meerwaardig zijn.

Dat ken ik niet, wat wil dat zeggen, meerwaardige functies? Dat je er een veelvoud van iets bij kan optellen zonder iets te veranderen, zoals sin(x) = sin(x + 2pi) = sin(x + 4pi) = ...?

Pff, te zware stof voor net vakantie te hebben .

[TD]

Omdat sin(0) = sin(4pi) = 0, geldt dat bgsin(0) zowel 0 als 4pi kan zijn (enz). Het is dan ook niet echt een "functie", aangezien bij één argument, meerdere beelden horen. Wat je bijvoorbeeld doet om van bgsin(x) een functie te maken, is het bereik beperken (soms genoteerd: Bgsin(x)).

Aangezien exp(z) voor z complex periodisch is, zoals sin(x), is ln(z) (complexe logaritme) meerwaardig.

[Rov]

Het is dan ook niet echt een "functie", aangezien bij één argument, meerdere beelden horen.

Maakt toch niets uit? Een functie is toch gewoon een afbeelding van een verzameling op een andere verzameling. Of die afbeelding sur-, in- of bijectief is doet er toch niet toe?