Bekijk het getal
\(2^{133}+2^8+1\)
.Dit getal is duidelijk binair weergegeven.
Cantor was hier niet tevreden mee, want de exponenten waren helemaal niet binair, dus ging hij die ook binair schrijven.
\(2^{2^7+2+1}+2^{2^3+1}+1\)
.Hij was nog niet tevreden, want de exponenten van de exponenten waren niet binair. Dus gaan we nog een stapje verder.
\(2^{2^{2^2+2+1}+2^2+1}+2^{2^{2+1}}+1\)
Nu gaf ie zich gewonnen. We hebben het getal geschreven in "Cantor Normaalvorm".Je kunt elk getal in elke basis (dus niet alleen binair) in Cantor Normaalvorm schrijven.
Snel stijgende rijen.
Als
\(a\)
een natuurlijk getal is, dan schrijven we \(a_5\)
voor het getal \(a\)
als het geschreven is in Cantor Normaalvorm in basis 5.Met
\(a_5^{+}\)
bedoelen we \(a_5\)
waarbij we alle vijven één ophogen.Bijvoorbeeld, als we bovengenoemd getal aan geven met
\(x_2\)
, dan is \(x_2^{+}\)
\(3^{3^{3^3+3+1}+3^3+1}+3^{3^{3+1}}+1\)
.Als a=16, bekijk dan de rij
\(b(1), b(2),b(3),\cdots\)
met \(b(1) = a_2\)
, en \(b(i+1)=b(i)^{+}\)
voor alle i.Dan is
\(b(k-1) = k^{k^{k}}\)
en \(b(9)\)
bestaat al uit maar liefst 101 cijfers. De rij divergeert dus vreselijk snel.Bekijk nu de rij
\(c(1), c(2),c(3),\cdots\)
met \(c(1) = 4_2 = 2^2\)
, en \(c(i+1)=c(i)^{+}-1\)
voor alle i.Dus
\(c(2) = 3^3 - 1 = 2\cdot3^2 + 2.3 + 2\)
, eerst 1 aftrekken en dan weer omzetten in basis 3.Divergeert deze rij?
