Functievergelijking

[mo]

Vind alle functies

\(f:R\)

naar

\(R\)

die voldoen aan

\(f(x)+xf(1-x)=x^2+1\)

voor alle

\(x\)

element van

\(R\)

.

ps: Wat is het code voor: element van, verzameling R, pijl naar rechts ?

[Marco van Woerden]

\(f(x)+xf(1-x)=x^2+1\)

(1)

Vul in '1-x' voor x.

\(\Rightarrow f(1-x)+(1-x)f(1-(1-x))=(1-x)^2+1\)

\(\Rightarrow f(1-x)+(1-x)f(x)=(1-x)^2+1\)

Vermenigvuldig met '-x'.

\(\Rightarrow -xf(1-x)-x(1-x)f(x)=-x(1-x)^2-x\)

(2)

Tel (1) en (2) bij elkaar op.

\(\Rightarrow -xf(1-x)-x(1-x)f(x)+f(x)+xf(1-x)=-x(1-x)^2-x+x^2+1\)

\(\Rightarrow (1-x+x^2)f(x)=-x(1-x)^2-x+x^2+1=-x(x^2-2x+1)-x+x^2+1=-x^3-x^2-2x+1\)

Veronderstel dat x geen nulpunt is van '1-x+x^2'. Die nulpunten moet je even apart behandelen, maar daar is het nu even te laat voor.

\(\Rightarrow f(x) = \frac{-x^3-x^2-2x+1}{1-x+x^2}\)

[Rogier]

Vind alle functies

\(f:R\)

naar

\(R\)

die voldoen aan

\(f(x)+xf(1-x)=x^2+1\)

voor alle

\(x\)

element van

\(R\)

.

ps: Wat is het code voor: element van, verzameling R, pijl naar rechts ?

\in, \rr, en \rightarrow

Zie hier:

[PeterPan]

Veronderstel dat x geen nulpunt is van '1-x+x^2'. Die nulpunten moet je even apart behandelen, maar daar is het nu even te laat voor.

Prima oplossing. Over de nulpunten van de noemer hoef je niet in te zitten, want de noemer is nooit 0.

Wat is de code voor:

\(f: \rr \rightarrow \rr\)

\(x \in \rr\)