De harmonische reeks divergeert

[PeterPan]

De som

\(1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \frac15 + \cdots\)

bestaat niet.

Het bekende bewijs hiervoor kun je hier lezen.

Hoewel dit een zeer leerzaam (en niet te moeilijk) bewijs is, kun je dit op nog veel eenvoudigere wijzen aantonen.

Stel dus dat de som bestaat (eindig is).

Leidt een eenvoudige tegenspraak af.

[kotje]

Beschouwen we

\(\int_1^M\frac{dx}{x}=\ln{M}\)

Laat M naar oneindig gaan dan ln(M) zou eindig zijn.

[PeterPan]

Hint: Neem de termen paarsgewijs.

Het kan natuurlijk zoals jij doet Kotje, maar ik wil het eenvoudig houden, zonder intergralen.

[PeterPan]

\(h = 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \frac15 + \cdots\)

\(h = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1} > \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n} = h\)

of

\( h = (1 + \frac12) + (\frac13 + \frac14) + (\frac15 + \frac16) + \cdots > (2.\frac12) + (2.\frac14) + (2.\frac16) + \cdots = h\)