Som berekenen.

[Bert F]

Hoe bereken je de som van

\(\sum _{k=0} ^{\infty} \ k^2 pq^k \)

?

[EvilBro]

Als het goed is weet je dat geldt:

\(\sum_{k = 0}^{\infty} r^k = \frac{1}{1-r}\)

differentieer beide kanten naar \(r\), en doe dit daarna nog een keer. In de resultaten zul je delen herkennen die je kan gebruiken voor jouw som.

[Bert F]

Zoiets werkt idd voor

\(\sum \ k \ pq^k\)

maar toch niet voor

\(\sum \ k^2 \ pq^k \)

? als je dat differentieert krijg je toch twee termen? dus:

\(\sum \ k^2 x^k \)

dan zal:

\(2k \ x^k \ + \ k^2 \ k \ x^{k-1} \)

of doe ik dit mis?

[EvilBro]

Even vooraf: ik ga er vanuit dat we hier met kansen te maken hebben en dat q dus tussen de nul en de een zit. Anders is de formule die ik gaf natuurlijk niet geldig.

\( \frac{1}{1 - r} = \sum_{k=0}^\infty r^k = 1 + \sum_{k=1}^\infty r^k\)

afleiden naar r:

\( \frac{1}{(1 - r)^2} = \sum_{k=1}^\infty k r^{k-1} = 1 + \sum_{k=2}^\infty k r^{k-1}\)

afleiden naar r:

\( \frac{2}{(1 - r)^3} = \sum_{k=2}^\infty k (k - 1) r^{k-2} = \sum_{k=2}^\infty (k^2 - k) r^{k-2} = \sum_{k=2}^\infty k^2 r^{k-2} - \sum_{k=2}^\infty k r^{k-2} = \frac{1}{r^2} \sum_{k=2}^\infty k^2 r^k - \frac{1}{r} \sum_{k=2}^\infty k r^{k-1}\)

\( = \frac{1}{r^2} \sum_{k=2}^\infty k^2 r^k - \frac{1}{r} (1 - \frac{1}{(1 - r)^2})\)

omschrijven:

\( \sum_{k=2}^\infty k^2 r^k = r - \frac{r}{(1 - r)^2} + \frac{2 r}{(1 - r)^3}\)

Oorspronkelijke opgave nog even omschrijven om bruikbaarheid bovenstaande formule aan te tonen:

\(\sum_{k=0}^\infty k^2 p q^k = p \sum_{k=0}^\infty k^2 q^k = p (0 + q + \sum_{k=2}^\infty k^2 q^k) = p q + p \sum_{k=2}^\infty k^2 q^k)\)

[Bert F]

Maar hoe kan dit

\( \frac{1}{1 - r} = \sum_{k=0}^\infty r^k = 1 + \sum_{k=1}^\infty r^k\)

? hoe ga je van het middelste naar het rechtse? je kan er toch niet zomaar wat bij optellen?

[Phys]

Maar hoe kan dit

\(\sum_{k=0}^\infty r^k = 1 + \sum_{k=1}^\infty r^k\)

? hoe ga je van het middelste naar het rechtse? je kan er toch niet zomaar wat bij optellen?

Je telt er niet zomaar wat bij op: de eerste sommatie laat k beginnen bij k=0 en de tweede bij k=1.

Voor k=0 krijg je namelijk r^0=1, oftewel de eerste term van de som

\(\sum_{k=0}^\infty r^k\)

is gelijk aan 1.

[Bert F]

Oeps te snel van mij. Begrijp het bedankt.

[PeterPan]

Als

\(x_n := \sum_{k=0}^{\infty}k^nr^k\)

,

dan is

\(x_2 = \sum_{k=0}^{\infty}k^2r^k = \sum_{k=0}^{\infty}(k+1)^2r^{k+1} = \sum_{k=1}^{\infty}(k-1)^2r^{k-1} = r\sum_{k=0}^{\infty}(k^2+2k+1)^2r^k = \frac1r\sum_{k=1}^{\infty}(k^2-2k+1)^2r^k\)

Dan is

\(x_2 = rx_2 + 2rx_1 + rx_0\)

en

\(rx_2 = x_2 - 2x_1 - x_0 + 1\)

Hieruit volgt

\(x_1 = \frac{(r+1)x_0 - 1}{2(1-r)}\)

en

\(x_2 = \frac{r(2x_1 + x_0)}{1-r}\)

waaruit

\(x_1\)

en

\(x_2\)

rechtstreeks volgen.