Complementaire grootheden.

[Bert F]

In de kwantum mechanica kan je twee complementaire zaken maar samen met met een bepaalde nauwkeurigheid, logisch in te zien.

Zo heb je als complementair een moment en een positie dat begrijp ik ook nog maar waarom is tijd en energie complementair? Groeten.

[DePurpereWolf]

Dit is mijn worp er naar.

Je meet energie door het overhevelen van energie, dus je deeltje heeft een bepaalde energie maar dat moet een 'meetinstrument' in werking stellen, het moet een bepaalde kracht over een weg afleggen anders kun je het niet zichtbaar maken. De overdracht van energie gaat alleen zonder verlies als het in quasi-equilibrium, dus heel langzaam.

Hoe kleiner de energie, hoe langer je het nodig hebt om het nauwkeurig te meten. Hoe sneller je meet hoe, hoe groter de energie moet zijn om de meting te doen.

[TD]

Je hebt misschien ook de algemenere vorm van de onzekerheidsrelatie gezien, als functie van de commutator van de twee grootheden die je beschouwt. Ik kan dit niet in detail uitleggen, maar weet wel nog dat de energie-tijd-onzekerheid niet in het "gewone rijtje" past, zoals positie-impuls. Zie ook hier voor meer informatie. Ik heb het in elk geval ooit gelezen in "Introduction to Quantum Mechanics" van D. Griffiths.

[Bert F]

Oké, bedankt ik onthoud dat dit verband niet zo logisch is als positie impuls. Groeten.

[thermo1945]

De constante van Dirac is een grootheid van de dimensie impulsmoment.

Dan moet het product van de complementaire grootheden ook een grootheid van de dimensie impulsmoment opleveren, omdat anders de ongelijkheid geen betekenis zou hebben. Je kunt immers alleen grootheden van dezelfde dimensie vergelijken. In het dagelijks leven 'appels en peren'. Bij alle vermelde voorbeelden kun je controlen dat het klopt. Triviaal hè!!

[eendavid]

Raar argument. Waarom is dan niet

\(x/p_x\)

de toegevoegde variabele?

edit: nog vermenigvuldigen met

\(m_e\)

natuurlijk.

[Bert F]

De constante van Dirac is een grootheid van de dimensie impulsmoment.

Dan moet het product van de complementaire grootheden ook een grootheid van de dimensie impulsmoment opleveren, omdat anders de ongelijkheid geen betekenis zou hebben. Je kunt immers alleen grootheden van dezelfde dimensie vergelijken. In het dagelijks leven 'appels en peren'. Bij alle vermelde voorbeelden kun je controlen dat het klopt. Triviaal hè!!

Sorry maar dat begrijp ik niet echt.

[Math-E-Mad-X]

In quantummechanica geldt:

'de energie van een deeltje is evenredig met de frequentie van zijn golffunctie'

Om de frequentie van een golf te meten moet je het aantal oscillaties tellen dat hij in een tijdsinterval ondergaat.

Je kan dus nooit de frequentie op één moment meten. Je kan zijn frequentie op een tijdsinterval meten of je kan bekijken hoe de golf er op een bepaald moment uitziet, maar dan weet je zijn frequentie weer niet.

Kortom het tijdstip van een gebeurtenis en de energie van het betreffende deeltje zijn niet tegelijk vast te leggen.

[eendavid]

Ik sluit me toch ook eerder aan bij wat TD schrijft: deze onzekerheidsrelatie moet bezien worden als een kwalitatieve karakteristiek eerder dan een fundamentele gelijkheid. De interpretatie daarvan kan bijvoorbeeld zijn wat jij schrijft, hoewel een golf op 1 tijdstip wel degelijk de volledige informatie van de energie bevat. Maar aangezien we niet werken met een tijdsoperator, kan je moeilijk commutatieregels beginnen opleggen tussen H en T.

[thermo1945]

De constante van Dirac is een grootheid van de dimensie impulsmoment.

Dan moet het product van de complementaire grootheden ook een grootheid van de dimensie impulsmoment opleveren, omdat anders de ongelijkheid geen betekenis zou hebben.

Sorry maar dat begrijp ik niet echt.

Een voorbeeld:

dimensie van {positie (tov oorsprong) maal impuls} =

de dimensie van {lengte x massa x snelheid} = dimensie van {impulsmoment} =

de dimensie van {de constanten van Planck en Dirac}

Je kunt dus {positie (tov oorsprong) maal impuls} en {de constanten van Planck en Dirac} vergelijken, optellen of aftrekken.

[thermo1945]

Om de frequentie van een golf te meten moet je het aantal oscillaties tellen dat hij in een tijdsinterval ondergaat.

Je kan dus nooit de frequentie op één moment meten. Je kan zijn frequentie op een tijdsinterval meten of je kan bekijken hoe de golf er op een bepaald moment uitziet, maar dan weet je zijn frequentie weer niet.

Compliment voor deze eenvoudige en sublieme uitleg.

[TD]

Maar aangezien we niet werken met een tijdsoperator, kan je moeilijk commutatieregels beginnen opleggen tussen H en T.

Inderdaad, de tijd "meet" je niet en beschrijf je dus ook niet met een (hermitische) operator, hetgeen van deze onzekerheidsrelatie iets anders maakt dan de "gewone" ongelijkheden tussen niet-commuterende waarneembare grootheden. Voor een zinnige interpretatie of logische opbouw van deze onzekerheidsrelatie, verwijs ik naar de literatuur. Eventueel wil ik hier wel beknopt schrijven wat ik er hier over heb liggen...

[Jocham]

In quantummechanica geldt:

'de energie van een deeltje is evenredig met de frequentie van zijn golffunctie'

Om de frequentie van een golf te meten moet je het aantal oscillaties tellen dat hij in een tijdsinterval ondergaat.

Je kan dus nooit de frequentie op één moment meten. Je kan zijn frequentie op een tijdsinterval meten of je kan bekijken hoe de golf er op een bepaald moment uitziet, maar dan weet je zijn frequentie weer niet.

Kortom het tijdstip van een gebeurtenis en de energie van het betreffende deeltje zijn niet tegelijk vast te leggen.

maar de onzekerheidsrelatie stelt het volgende:

\(\Delta E\Delta t\geq \frac{\hbar}{2}\)

en energie is evenredig met de frequentie van de golf, dus als je de frequentie meet (door een bepaalde

\(\Delta t\)

te meten, bijv

\(\Delta t=1\)

ns) zou je precies de energie kunnen stellen (

\(\Delta E=0\)

)

maar een

\(\Delta E\)

van 0 zou volgens de formule moeten betekenen dat

\(\Delta t\)

oneindig groot zou moeten zijn.

[Math-E-Mad-X]

Compliment voor deze eenvoudige en sublieme uitleg.

toch is mijn uitleg een beetje misleidend omdat een golffunctie niet 'collapsed' naar een tijd-eigentoestand zoals een golf wel collapsed naar een positie-eigentoestand. Of zoals eendavid het zegt: er is geen tijdsoperator.

[Math-E-Mad-X]

maar de onzekerheidsrelatie stelt het volgende:

\(\Delta E\Delta t\geq \frac{\hbar}{2}\)

en energie is evenredig met de frequentie van de golf, dus als je de frequentie meet (door een bepaalde

\(\Delta t\)

te meten, bijv

\(\Delta t=1\)

ns) zou je precies de energie kunnen stellen (

\(\Delta E=0\)

)

maar een

\(\Delta E\)

van 0 zou volgens de formule moeten betekenen dat

\(\Delta t\)

oneindig groot zou moeten zijn.

Nee, als je over een tijdsinterval van 1ns meet dan is het tijdsinterval idd niet oneindig, maar de onzekerheid in zijn tijdstip is wel oneindig! D.w.z. de gemeten golf is in gelijke mate verdeeld over het tijdsinterval. Je zou dit kunnen zien als een gaussische verdeling met oneindige standaarddeviatie. Tenminste, als we het hebben over een golf met eenduidige frequentie.

Je kan echter ook kijken naar een golffunctie die een superpositie is van een heleboel energie-eigentoestanden (oftewel: de functie is een som van een heleboel golven met verschillende frequenties). Hoe langer het tijdsinterval is waarover je de golf bekijkt, hoe beter je kunt bepalen welke energie-eigentoestanden er in zitten.