Sigma-algebra

[dirkwb]

sigma_algebra 813 keer bekeken

IK kan me hier moeilijk een voorstelling bij maken, kan iemand hier wat toelichting op geven?

[TD]

Kan je aangeven wat je niet begrijpt? De definitie, of hetgeen ze daarna vertellen?

[dirkwb]

Bij vereniging en doorsnede van verzamelingen kan ik een Venn-diagram of in ieder geval een plaatje maken. Maar bij deze definitie zie ik niet wat dit voorstelt.

[TD]

Misschien is een voorbeeld handig. Bekijk de verzameling Ω = {1,2,3,4}. Een sigma-algebra zou dan kunnen zijn: F = {{},{1,3},{2,4},{1,2,3,4}}. Inderdaad, Ω zit alvast in F. Ook C(Ω) = Ω\Ω = {} zit in F. Voor elk ander element van F, bijvoorbeeld A={1,3}, zit C(A) = Ω\A ook in F, in dit voorbeeld C(A) = {2,4}. Tot slot eist de laatste eigenschap dat de unie van een aftelbaar aantal elementen uit F, ook in F zit.

[PeterPan]

De woorden "measurable space" (meetbare ruimte) verraadt al wat het eigenlijke doel is van deze definitie.

Je wil aan zoveel mogelijk deelverzamelingen van

\(\Omega\)

een maat (=oppervlakte/inhoud enz.) gaan toekennen.

Stel dat aan een heleboel deelverzamelingen van

\(\Omega\)

al een maat (laten we zeggen: oppervlakte) hebben toegekend.

Wat je dan wil is dat je elke denkbare verzameling die je daarmee kunt maken met behulp van

\(\cup, \cap\)

enz. automatisch ook een oppervlakte heeft (want optellen van oppervlakten is toevallig een van onze specialiteiten (volgens Miranda)).

Die definitie geeft alle mogelijke combinaties die je kunt bedenken. (Let wel: De verenigingen en doorsneden gaan slechts over aftelbaar veel verzamelingen, want zoals je weet ik de oppervlakte van overaftelbaar veel verzamelingen (die positieve oppervlakte hebben) niet interessant (=

\(\infty\)

))

[dirkwb]

Misschien is een voorbeeld handig. Bekijk de verzameling Ω = {1,2,3,4}. Een sigma-algebra zou dan kunnen zijn: F = {{},{1,3},{2,4},{1,2,3,4}}. Inderdaad, Ω zit alvast in F. Ook C(Ω) = Ω\Ω = {} zit in F. Voor elk ander element van F, bijvoorbeeld A={1,3}, zit C(A) = Ω\A ook in F, in dit voorbeeld C(A) = {2,4}. Tot slot eist de laatste eigenschap dat de unie van een aftelbaar aantal elementen uit F, ook in F zit.

Ah, dank je, dat helpt.

De woorden "measurable space" (meetbare ruimte) verraadt al wat het eigenlijke doel is van deze definitie.

Je wil aan zoveel mogelijk deelverzamelingen van

\(\Omega\)

een maat (=oppervlakte/inhoud enz.) gaan toekennen.

Stel dat aan een heleboel deelverzamelingen van

\(\Omega\)

al een maat (laten we zeggen: oppervlakte) hebben toegekend.

Hoe ken je dan een maat toe aan een "heleboel deelverzamelingen"?

Wat je dan wil is dat je elke denkbare verzameling die je daarmee kunt maken met behulp van

\(\cup, \cap\)

enz. automatisch ook een oppervlakte heeft (want optellen van oppervlakten is toevallig een van onze specialiteiten (volgens Miranda)).

Die definitie geeft alle mogelijke combinaties die je kunt bedenken.

Dit zei mijn docent ook, maar dat vind ik nog steeds raar. Hoezo ontstaan er alle mogelijke combinaties die je kan bedenken?

(Let wel: De verenigingen en doorsneden gaan slechts over aftelbaar veel verzamelingen, want zoals je weet ik de oppervlakte van overaftelbaar veel verzamelingen (die positieve oppervlakte hebben) niet interessant (=

\(\infty\)

))

ok, dat is duidelijk.

[PeterPan]

Hoe ken je dan een maat toe aan een "heleboel deelverzamelingen"?

Voorbeeld 1:

\(\rr^2\)

Alle rechthoeken kennen we een maat toe (oppervlakte) door middel van lengte x breedte.

Dan kan ik ook de maat van een cirkel bepalen, want een cirkel kan ik schrijven als de vereniging van aftelbaar veel rechthoeken binnen die cirkel.

Elk denkbaar oppervlak kan ik m.b.v. die rechthoeken en

\(\cup, \cap\)

enz. maken.

Voorbeeld 2: Een willekeurige verzameling.

Alle eenpuntsverzamelingen geeft ik maat 1 en de lege verzameling maat 0.

(Het resultaat is hier dat de maat van een deelverzameling gelijk is aan het aantal elementen van die verzameling).