Negatieve faculteiten?

[Snelle Herhaling]

Hallo,

Ik vroeg me af als er faculteiten van negatieve getallen bestaan.

Of is faculteiten enkel gedefinieerd voor strikt-positieve getallen ?

[jhnbk]

Je kan een veralgemening gebruiken van het begrip faculteit: de gamma functie

[TD]

En als je met negatieve getallen de gehele getallen bedoelt (zoals de natuurlijke getallen voor de gewone faculteit), dan kan het daarmee nog niet. De gammafunctie is immers niet gedefinieerd voor negatieve gehele getallen, wel voor alle andere negatieve getallen.

[jhnbk]

thx TD, dat was ik wel even vergeten

[Phys]

thx TD, dat was ik wel even vergeten

Het is nochtans duidelijk te zien in het plaatje bovenaan uit jouw link

[jhnbk]

uiteraard maar ik heb die pagina niet opengedaan

[Snelle Herhaling]

Ok, bedankt voor de info.

We gaan de gamma functie volgende week zien, ik kijk ernaar uit

[thermo1945]

Wellicht is één vd volgende definities zinvol:

(-n)! = -(n!) of 1/(n!) of -1/(n!)

[TD]

Zijn dat eigen voorstellen of komen die ergens vandaan (wordt dat ergens zo gebruikt)?

[PeterPan]

Een bekende manier om m! te definiëren voor niet alleen natuurlijke getallen gaat als volgt:

\(m! = \frac{(m+N)!}{(m+1)(m+2)\cdots (m+N)}\)

voor elke

\(N \in \nn\)

.

\(= \frac{1}{m+1}\frac{2}{m+2}\cdots \frac{N}{m+N}\cdot (N+1)(N+2)\cdots (N+m)\)

\(= \prod_{k=1}^N \frac{k}{m+k} (N+1)^m \cdot \frac{(N+1)(N+2)\cdots (N+m)}{(N+1)^m}\)

Nu de limiet nemen voor

\(N \to \infty\)

\(m! = \lim_{N \to \infty} (N+1)^m \prod_{k=1}^N \frac{k}{m+k}\)

en daar

\(N+1 = \prod_{k=1}^N \frac{k+1}{k}\)

is

\(m! = \prod_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k+m} \left(\frac{k+1}{k}\right)^m\)

In de uitdrukking van het rechter lid zou je voor m ook complexe getallen kunnen invullen voor m, echter geen negatieve getallen!

[thermo1945]

Zijn dat eigen voorstellen of komen die ergens vandaan (wordt dat ergens zo gebruikt)?

Eigen suggesties. Die mogelijkheid staat open, omdat voor de negatieve gehele getallen de gammafunctie niet gedefinieerd is.

[TD]

Uiteraard, ik vroeg me gewoon af of je dit ergens was tegengekomen.

[PeterPan]

Eigen suggesties. Die mogelijkheid staat open, omdat voor de negatieve gehele getallen de gammafunctie niet gedefinieerd is.

Suggestie:

De rij

\((a_n)\)

met

\(a_n=n!\)

voldoen aan de volgende relatie:

\(a_{n+1}=(n+1)a_n\)

\(a_1=1\)

Invullen van negatieve waarden voor

\(n\)

geeft:

\(a_0=0a_{-1}=0\)

\(a_{-1}=-1\cdot a_{-2}\)

\(a_{-2}=-2a_{-3}\)

\(a_{-3}=-3a_{-4}\)

enz.

Hieruit volgt, als we aannemen (en dat staat ons nog vrij)

\(a_{-1}=1\)

:

\(a_{-1}=1\)

\(a_{-2}=-1\)

\(a_{-3}=\frac{1}{2!}\)

\(a_{-4}=-\frac{1}{3!}\)

en i.h.a.

\((-n-1)! = a_{-(n+1)} = \frac{(-1)^{n}}{n!}\)

voor

\(n \in \nn_{0}\)

Waarom is dit onzin?

[thermo1945]

Waarom is dit onzin?

Onzin dat dit onzin zou zijn! Deze definitie voldoet uitstekend, zou ik zo zeggen! Deze reactie ook veel functioneler dan je vorige.

[Erik Leppen]

Een bekende manier om m! te definiëren voor niet alleen natuurlijke getallen gaat als volgt:

\(m! = \frac{(m+N)!}{(m+1)(m+2)\cdots (m+N)}\)

voor elke

\(N \in \nn\)

.

\(= \frac{1}{m+1}\frac{2}{m+2}\cdots \frac{N}{m+N}\cdot (N+1)(N+2)\cdots (N+m)\)

\(= \prod_{k=1}^N \frac{k}{m+k} (N+1)^m \cdot \frac{(N+1)(N+2)\cdots (N+m)}{(N+1)^m}\)

Nu de limiet nemen voor

\(N \to \infty\)

\(m! = \lim_{N \to \infty} (N+1)^m \prod_{k=1}^N \frac{k}{m+k}\)

en daar

\(N+1 = \prod_{k=1}^N \frac{k+1}{k}\)

is

\(m! = \prod_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k+m} \left(\frac{k+1}{k}\right)^m\)

In de uitdrukking van het rechter lid zou je voor m ook complexe getallen kunnen invullen voor m, echter geen negatieve getallen!

Ziet er mooi uit! Er zijn nog wel twee dingen die je je kan afvragen.

[*]Bestaat de limiet (waarschijnlijk wel, maar dat moet je strikt genomen laten zien)

[*]Geeft deze manier dezelfde functie als de gammafunctie?