Klassieke energie van een kwantum harmonische oscillator

[M.B.]

Hoi,

ik ben bezig met het behoud van de klassieke energie van de harmonische oscillator na te trekken onder welbepaalde storingen.

Nu klinkt dit raar: klassieke grootheid van een qm systeem.

Het wordt zo genoemd omdat de klassieke energie van een qm oscillator wiskundig redelijk analoog is aan de klassieke grootheid, die de som is van de gemiddelde kinetische en potentiele energie, maw

\( E_{cl} = \frac{\langle p\rangle^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}\langle Q\rangle^{2}\)

Ik heb echter het behoud uitgerekend van de klassieke energie (van de ongestoorde oscillator) en bekwam

\( \langle E_{cl}\rangle_{t} = \langle <P>^{2}\rangle_{t}+\langle <Q>^{2}\rangle_{t}+ =\left( \frac{\hbar}{2m\omega}+\frac{m\hbar\omega}{2}\right)\left(\sum_{l=1}l|\lambda_{l-1}\lambda_{l}|^{2}+(l+1)|\lambda_{l+1}\lambda_{l}|^{2}\right)\)

Omdat men weet dat de klassieke energie een behouden grootheid is moet dit rechterlid dus ook de uitdrukking zijn voor de klassieke energie in het qm geval.

Ik zou dit echter willen verifieren, want de uitdrukking zou makkelijk te vinden moeten zijn. Echter, is er iemand die ze wil vindt, waardoor ik dit gedrocht kan afvoeren of juist moet behouden?

[eendavid]

Het wordt zo genoemd omdat de klassieke energie van een qm oscillator wiskundig redelijk analoog is aan de klassieke grootheid, die de som is van de gemiddelde kinetische en potentiele energie, maw

\( E_{cl} = \frac{\langle p\rangle^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}\langle Q\rangle^{2}\)

Ik kan me vergissen, maar wat je in woorden schrijft betekent

\( E_{cl} = \frac{\langle p^{2}\rangle}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}\langle Q^{2}\rangle\)

Klassiek is wat jij opschrijft 0, QM ook (creatie - en annihilatieoperatoren beelden een toestand op een orthogonale toestand af). Let alleszins op dat beide niet hetzelfde zijn.

Als dat is wat je wil uitrekenen zoek je uiteraard gewoon de verwachtingswaarde van de hamiltoniaan

\(\frac{\hbar\omega}{2}\langle aa^++a^+a\rangle\)

, eenvoudig uit te rekenen gegeven de toestand waarin we ons bevinden. Er valt natuurlijk heel wat te vertellen over de klassieke limiet van de H.O, maar voorlopig weet ik niet goed waar we naartoe willen. Een leukigheidje is dat

\(\sqrt{\langle p^{2}\rangle}=m\omega \sqrt{\langle Q^2\rangle}\)

, zoals klassiek geldt.