Zoek de fout

[Jan van de Velde]

een machine heeft een:

• massa van 76300 kg
• snelheid van 0,5 m/s (constant)
• een motor met een vermogen van 15 kW

Als je de motor uitschakelt, hoe lang duurt het voor hij stilstaat?

P= F·v ==> F= P/v = 15000/0,5 = 30 kN

F=m·a ==> a= F/m = 30000/76300 = 0,393 m/s²

a= Δv/t ==> t = Δv/a = 0,5/0,393 = 1,27166 s

alternatief:

Ekin = ½mv² = 0,5 x 76300 x 0,5² = 9537,5 J

P= 15000 J/s

P= E/t ==> t= E/P = 9537,5/15000 = 0,63588 s

De eerste berekeningswijze levert EXACT het dubbele van de tweede.

Wie ziet de fout?

[eendavid]

Heb ik het goed voor dat we over een blok massa spreken die een zekere wrijving ondervindt? Bedenk in dat geval dat de kracht die het blok ondervindt snelheidsafhankelijk is (net zoals het vermogen dat nodig is om de blok in beweging te houden). In de benadering dat de kracht evenredig is met de snelheid blijft het blok oneindig lang voortbewegen, en zal het in die tijd een afstand 76,3/120 m hebben afgelegd.

Ik heb zo'n donkerbruin vermoeden dat ik me de situatie te plastisch voorstel, bij deze mijn eventuele excuses daarvoor.

[Jan van de Velde]

nee, het gaat over een zware machine die rolweerstand ondervindt. Dat zou (nagenoeg) onafhankelijk moeten zijn van snelheid.

Een motorvermogen van 15 kW is nodig om de snelheid op een constante 0,5 m/s te houden

[Phys]

Even voor de duidelijkheid in symbolen de twee methodes:

\(F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{P}{v_0}\to \Delta t=\frac{v_0 \Delta p}{P}=\frac{mv^2_0}{P}\)

en

\(P=\frac{\Delta E}{\Delta t}\to \Delta t=\frac{\Delta E}{P}=\frac{mv^2_0}{2P}\)

inderdaad de helft. (Ik heb de eerste methode ietsje "efficiënter" gedaan, maar is natuurlijk equivalent, gebruikmakend van de tweede wet van Newton)

Mijn methode toen ik de vraag las was de eerste. De energeibeschouwing lijkt de mist in te gaan doordat je er vanuit gaat dat het vermogen tijdens de energie-afname nog steeds gelijk is aan het vermogen van de machine. Voor het vermogen van de machine geldt helemaal niet dat

\(P=\frac{\Delta E}{\Delta t}\)

, dat is het vermogen geleverd door de wrijvingskracht. Je mag daar dus niet zomaar P=15000 invullen.

In de eerste methode gebruik je dit vermogen om de grootte van de (constant veronderstelde) wrijvingskracht te achterhalen. Je gebruikt dan P=F.v0 en dat geldt wél op het moment dat de motor wordt uitgezet.

De factor 2 is dus eigenlijk 'toeval', door toedoen van een verkeerde methode.

[eendavid]

Dat zou (nagenoeg) onafhankelijk moeten zijn van snelheid.

OK. Dan is de krachtenberekening juist, en de vermogenberekening fout, omdat het vermogen evenredig is met v en dus lineair afneemt met de tijd. Je kan het nog steeds doen, maar je moet wel met differentiaalvergelijkingen werken.

\(\frac{dE}{dt}=-P(1-\frac{t}{t_0})\)

met t0 de totale benodigde tijd

\(E=E_0-P(t-\frac{t^2}{2t_0})\)

Eisen dat deze 0 is op t=t0:

\(p(t-t_0/2)=E_0\)

,

\(t_0=\frac{2E_0}{p}\)

toeval... (uiteraard is bovenstaande wat phys zei, maar dan wat meer uitgewerkt)

[Jan van de Velde]

Dus, even voor mijn en andermans duidelijkheid, wat gezegd wordt is dat het misloopt in de tweede methode, omdat daar wordt verondersteld adt het vermogen geleverd door de wrijvingskracht tijdens de vertraging constant is, wat niet het geval is omdat de snelheid afneemt, zodat halverwege nog slechts de helft daarvan nodig is, en op het eind bijna niks meer. Gezien de (eenparig veronderstelde) vertraging had ik daar moeten rekenen met gemiddeld vermogen:

(P0 +Pt)/2 = E/t ==> t= E/½P = 9537,5/7500 = 1,27166 s

[Phys]

Ja, dat is correct. (De eerste methode lijkt me overigens wel de makkelijkste.)