Ladder

[kotje]

Er staat een ladder tegen de muur.Wanneer zoudt ge je het veiligst voelen als ge op de ladder klimt indien men je vertelt dat de vloer glad en de muur ruw is of dat de vloer ruw en de muur glad is?

[jhnbk]

Logischerwijs als de vloer ruw is. Maar dit hangt ook af van de hoek die de ladder heeft.

[kotje]

Jhnbk schreef:

Logischerwijs als de vloer ruw is. Maar dit hangt ook af van de hoek die de ladder heeft.

Logischerwijs is geen verklaring en zeker als volgens jou het antwoord ook afhangt van de hoek.

[jhnbk]

We krijgen ook niet meer gegevens over de hoek & de wrijvingscoëfficiënten.

[kotje]

Glad wil zeggen geen wrijvingskracht (reactiekracht kan alleen normaal staan). Laat ons aannemen dat muur als ruw even ruw is als vloer.

[Sjakko]

Als de vloer ruw is en de muur glad. Zonder een ruwe vloer kan er geen grip tussen muur en ladder ontstaan, omdat de grip met de vloer moet zorgen voor een normaalkracht op de muur (dat haal je uit krachtenevenwicht in horizontale richting). Zonder die normaalkracht kan er geen grip ontstaan tussen muur en ladder. Theoretisch kan je dan nog wel op de ladder staan, namelijk wanneer het gezamenlijke zwaartepunt precies boven het contactpunt met de vloer staat, maar dat is een nogal instabiel evenwicht.

[DePurpereWolf]

Logischerwijs als de vloer ruw is. Maar dit hangt ook af van de hoek die de ladder heeft.

De zwaartekracht is verticaal gericht, het is dus logisch dat een horizontaal oppervlak als de vloer het meeste effect zal hebben op de wrijving.

Bij 45 graden, als een ladder op een ruwe vloer hangt tegen een gladde muur, zal de ladder blijven staan.

Als echter de ladded op een gladde vloer staat tegen een ruwe muur, zal de ladder vallen, ook al is er wrijving tussen ladder en muur, er is geen kracht die horizontaal werkt, die de ladder tegen de muur drukt, en daarom zal de ladder gewoon vallen.

[kotje]

Ik zie de zaak zo:

Men staat in zwaartepunt ladder:

1) wrijving tussen ladder en vloer en normaalkracht op muur.

Er werken drie krachten, een kracht in zwaartepunt verticaal, een kracht schuin op vloer naar muur gericht en normaalkracht op muur. De werklijnen van die krachten kunnen door een punt gaan en kunnen dus als resultante 0 opleveren.

2) normaalkracht op vloer wrijving op muur.

Men redeneert op dezelfde manier dat de resulterende kracht nooit 0 kan zijn.

Dus geruster als geval 1

[BarryVos]

Heh, best een leuke vraag om uit te werken. Ik ben even te lui om een tekening te maken met paint te tekenen (kent iemand een degelijk stukje software om makkelijk en snel krachtenplaatjes ed. te tekenen?), dus ik hoop dat het te volgen is.

Aannames:

Het zwaartepunt ligt exact op het midden van de ladder en de hoek tussen de vloer en de muur is 90 graden, dus

\(\frac{\pi}{2}\)

. De trap is niet in beweging, dus de de som van de krachten en de som van de momenten is nul.

Analyse:

We noemen de hoek die de ladder maakt met de vloer

\(\alpha\)

en de hoek die met de muur gemaakt wordt

\(\beta\)

.

\(\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}\rightarrow \beta=\frac{\pi}{2}-\alpha\)

De zwaartekracht

\(F_z\)

, die uit het zwaartepunt daalt kan worden ontbonden in twee krachten die evenwijdig aan en loodrecht op de trap staan. Hetzelfde geldt voor de wrijvingskracht. We onderscheiden verder twee wrijvingskrachten. De eerste is het gevolg van een ruwe vloer, de tweede van een ruwe muur.

\(F_{z,II}=cos \beta F_z= sin \alpha F_z\)

\(F_{w_1,II}=\frac{F_{w_1}}{cos \alpha}\)

\(F_{w_2,II}=cos \beta F_{w_2}=sin \alpha F_{w_2}\)

Nu zijn de wrijvingskrachten evenredig met de normaalkrachten die op de punten werken. Ook deze krachten kunnen ontbonden worden loodrecht op en evenwijdig aan de trap. De loodrechte componenten kunnen beschouwd worden als momenten, waarbij het zwaartepunt het draaipunt is. De momenten moeten dan even groot (en omkeerd) zijn, aagezien de ladder niet in beweging is. De momenten bevinden zich op even grote afstand van het draaipunt, dus de loodrecht ontbonden normaalkrachten moet ook gelijk zijn.

\(F_{n_2,\perp}=(-)F_{n_1,\perp}\)

\(\frac{F_{n_2}}{cos \alpha}=cos \beta F_{n_1}=sin \alpha F_{n_1}\)

\(F_{n_2}=cos \alpha sin \alpha F_{n_1}=\frac{1}{2}sin 2\alpha F_{n_1}\)

Aangezien de wrijvingskracht evenredig is met de nomaalkracht geldt:

\(F_{w_2}=sin \alpha \frac{1}{2}sin 2\alpha F_{w_1}\)

\(F_{w_2}=cos \alpha sin \alpha \frac{1}{2}sin 2\alphaF_{w_1}=sin 2\alpha F_{w_1}\)

\(F_{w_2} \leq F_{w_1}\)

Dus de wrijvingskracht die door de vloer ontstaat heeft meer effect en is dus nuttiger. De uitzondering is als de ladder verticaal staat; dan is wrijving niet eens nodig.

[Phys]

De uitzondering is als de ladder verticaal staat; dan is wrijving niet eens nodig.

Het probleem is dat wanneer een persoon op de ladder staat, het zwaartepunt niet meer precies in het midden van de ladder maar ietsje ernaast komt te liggen (eerste aanname). Als de ladder verticaal staat, zal er dus een moment zijn waardoor je achterover valt

[BarryVos]

Hehe, inderdaad. Vandaar dat ik dat maar met de aannames heb opgelost. Anders wordt het probleem nog wat lastiger. Ik stel me dan maar voor dat de persoon in kwestie zich in een hele merkwaardige positie heeft gewurmd

[edit] blijkbaar kan ik m'n vorige bericht niet editen nadat ik van linux naar windows ben gegaan (dual boot)... Er staan nog wat fouten in. Ik zal het morgen even verbeteren.

[Phys]

Dat ligt (vermoedelijk) niet aan je overstap: er is een bepaalde tijdsduur (ik dacht een minuut of 5) waarna je je bericht niet meer kunt wijzigen.

[BarryVos]

Hier dan de gecorrigeerde versie. Hopelijk klopt het nu wel.

Aannames:

Het zwaartepunt ligt exact op het midden van de ladder en de hoek tussen de vloer en de muur is 90 graden, dus

\(\frac{\pi}{2}\)

. De trap is niet in beweging, dus de de som van de krachten en de som van de momenten is nul.

Analyse:

We noemen de hoek die de ladder maakt met de vloer

\(\alpha\)

en de hoek die met de muur gemaakt wordt

\(\beta\)

.

\(\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}\rightarrow \beta=\frac{\pi}{2}-\alpha\)

(1)

De zwaartekracht

\(F_z\)

, die uit het zwaartepunt daalt kan worden ontbonden in twee krachten die evenwijdig aan en loodrecht op de trap staan. Hetzelfde geldt voor de wrijvingskracht. We onderscheiden verder twee wrijvingskrachten. De eerste is het gevolg van een ruwe vloer, de tweede van een ruwe muur.

\(F_{z,II}=cos \beta F_z= sin \alpha F_z\)

(2) (volgt uit 1)

\(F_{w_1,II}=\frac{F_{w_1}}{cos \alpha}\)

(3)

\(F_{w_2,II}=cos \beta F_{w_2}=sin \alpha F_{w_2}\)

(4) (volgt uit 1)

Nu zijn de wrijvingskrachten evenredig met de normaalkrachten die op de punten werken. Ook deze krachten kunnen ontbonden worden loodrecht op en evenwijdig aan de trap. De loodrechte componenten kunnen beschouwd worden als momenten, waarbij het zwaartepunt het draaipunt is. De momenten moeten dan even groot (en omkeerd) zijn, aagezien de ladder niet in beweging is. De momenten bevinden zich op even grote afstand van het draaipunt, dus de loodrecht ontbonden normaalkrachten moet ook gelijk zijn.

\(F_{n_2,\perp}=(-)F_{n_1,\perp}\)

(5)

\(\frac{F_{n_2}}{cos \alpha}=cos \beta F_{n_1}=sin \alpha F_{n_1}\)

(6) (volgt uit 5 en 1)

\(F_{n_2}=cos \alpha sin \alpha F_{n_1}=\frac{1}{2}sin 2\alpha F_{n_1}\)

(7) (volgt uit 6)

Aangezien de wrijvingskracht evenredig is met de nomaalkracht geldt:

\(F_{w_2}=\frac{1}{2}sin 2\alpha F_{w_1}\)

(8)

\(F_{w_2,II}=sin \alpha \frac{1}{2}sin 2\alpha F_{w_1}\)

met

\(\alpha \in [0, \frac{\pi}{2} ]\)

(9) (volgt uit 8 en 4)

Dus de wrijvingskracht die door de vloer ontstaat heeft meer effect en is dus nuttiger.