Ik zit met het volgende probleem:
"If m and n are two postive integers, prove that one of m^(1/n) or n^(1/m) is always less than or equal to 3^(1/3)"
Moet dit via inductie?
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
dirkwb
- Artikelen: 0
- Berichten: 4.246
- Lid geworden op: wo 21 mar 2007, 20:11
Bovengrens m^n
Quitters never win and winners never quit.
-
jhnbk
- Artikelen: 0
- Berichten: 6.905
- Lid geworden op: za 16 dec 2006, 09:10
Re: Bovengrens m^n
Het lijkt mij mogelijk met inductie. Ik zal het straks even uitproberen.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
-
Safe
- Pluimdrager
- Artikelen: 0
- Berichten: 10.058
- Lid geworden op: wo 17 nov 2004, 12:37
Re: Bovengrens m^n
Bekijk ook eens de functie x^(1/x) voor x>0, deze is diffbaar.
-
dirkwb
- Artikelen: 0
- Berichten: 4.246
- Lid geworden op: wo 21 mar 2007, 20:11
Re: Bovengrens m^n
Het maximum is bij:
\( \ln(x) =x^2 \)
ik zie niet in hoe ik hiermee verder kan.Quitters never win and winners never quit.
-
PeterPan
- Artikelen: 0
Re: Bovengrens m^n
Stel
Dan is
Logaritmen nemen geeft, met
De rest is een peuleschil.
\(\sqrt[n]m \ge \sqrt[3]3\)
en \(\sqrt[m]n \ge \sqrt[3]3\)
Dan is\(m^3 \ge 3^n\)
en \(n^3 \ge 3^m\)
.Dan is
\((mn)^3 \ge 3^{m+n}\)
en\((mn)^{\frac32} \ge 3^{\frac{m+n}{2}} \ge 3^{\sqrt{mn}}\)
.Logaritmen nemen geeft, met
\(mn = x > 1\)
\(\frac32 \ln(x) \ge \sqrt{x} \ln(3)\)
De functie \(f\)
met functievoorschrift \(f(x) = \frac32 \ln(x) - \sqrt{x} \ln(3)\)
is slechts positief voor \(x>1\)
als \(x = 7, 8\)
(en 0 voor \(x=9\)
, hetgeen de oplossing \(m=n=3\)
geeft).De rest is een peuleschil.
