Oneigenlijke integraal

[Scofield]

Hallo,

Ik kreeg vandaag deze vraag voor mijn neus:

"Voor welke waarden van m en n is int(x^m*exp(-x^n),x=0..infinity) convergent?

Iemand enig idee hoe hieraan te beginnen?

Mvg

[jhnbk]

Wat weet je voor convergentie van

\(\int_{0}^{\infty} x^n e^{-x} \mbox{d}x\)

?

Zo geraak je wel verder denk ik.

[Scofield]

Niets. Ik heb eerlijk gezegd geen idee hoe ik verder moet...

[PeterPan]

Voor welke positieve gehele waarden

\(m\)

en

\(n\)

is de volgende integraal eindig:

\( \int_0^{\infty}x^m e^{-x^n} \ dx\)

Antwoord: voor alle.

Merk op dat

\(x^m e^{-x} < e^{-\frac{x}{2}}\)

voor

\(x\)

groot genoeg.

Dan is

\(x^m e^{-x^n} < x^m e^{-x} < e^{-\frac{x}{2}}\)

voor

\(x\)

groot genoeg.

\( \int_0^{\infty}e^{-\frac{x}{2}}\ dx = 2\)

, dus eindig.

Dus

\(\int_Q^{\infty}x^m e^{-x^n}\ dx < \infty\)

voor zekere

\(Q\)

enz.