Vermoeden van goldbach

[foodanity]

Ik zat eens na te denken over het vermoeden van Goldbach

Even ter opfrissing, het vermoeden luidt:

Elk even getal groter dan 2 kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen.

Ik denk dat het antwoord nee is. Omdat de prime gaps(de gaten tussen twee opvolgende priemgetallen) steeds toenemen naarmate de grootte van de priemgetallen toenemen, is het aannemelijk dat op den duur de gaten zo groot worden dat bij het gebruik van slechts 2 priemgetallen je op den duur wel een uitzondering moet krijgen. Nu nemen de prime gaps heel langzaam toe en daarom zijn computers nog niet ver genoeg om de uitzondering te vinden, is mijn hypothese. Misschien zullen computers wel helemaal nooit de uitzondering kunnen vinden, omdat de prime gaps heel erg langzaam toenemen.

Kortom: De frequentie van de priemgetallen in verhouding met de even getallen wordt steeds kleiner naarmate je het limiet naar oneindig laat gaan, waardoor je wel op een uitzondering moet stuitten.

Nu is het enige wat je moet doen, bewijzen dat de gaten inderdaad steeds meer in grootte toenemen. Logisch gevolg lijkt me, aangezien je steeds meer delers krijgt, houd je steeds minder priemen over.

Ik denk dat ik ergens iets gigantisch over het hoofd zie, maar het kan niet veel kwaad om het te plaatsen, dus doe ik het toch maar

[PeterPan]

Het zou niet de eerste keer zijn dat een vermoeden over priemgetallen onjuist blijkt te zijn.

Toch houd ik het er (voorlopig) op dat het vermoeden van Goldbach klopt.

Het argument van de toenemende afstanden tussen opvolgende priemgetallen is mij niet overtuigend genoeg.

[EvilBro]

Ik denk dat het antwoord nee is. Omdat de prime gaps(de gaten tussen twee opvolgende priemgetallen) steeds toenemen naarmate de grootte van de priemgetallen toenemen, is het aannemelijk dat op den duur de gaten zo groot worden dat bij het gebruik van slechts 2 priemgetallen je op den duur wel een uitzondering moet krijgen.

Zo aannemelijk is dat niet. Zeker niet omdat wiskundigen denken dat het antwoord 'ja' moet zijn... Uit Bertrands postulaat blijkt dat er altijd een priemgetal zit tussen n en 2.n. Een prime gap zal dus nooit zo groot worden dat het groter is dan een al beschikbaar priemgetal.

Kortom: De frequentie van de priemgetallen in verhouding met de even getallen wordt steeds kleiner naarmate je het limiet naar oneindig laat gaan, waardoor je wel op een uitzondering moet stuitten.

Dat is appels met peren vergelijken. Je moet niet kijken naar het aantal priemgetallen, maar naar het aantal sommen van 2 priemgetallen.

[PeterPan]

Zie hier onder het kopje "Heuristic justification":

"the greater the integer, the more ways there are available for that number to be represented as the sum of two or three other numbers, and the more "likely" it becomes that at least one of these representations consists entirely of primes".