Vierkantswortel i

[Burgie]

Hallo,

ik weet niet of deze vraag al aan bod is geweest op dit forum, maar aangezien ik niet meteen iets terug vond...

Vanuit wiskundig standpunt, is het eigenlijk correct om "

\(\sqrt\left(i\right)\)

" te noteren?

Burgie

[jhnbk]

Ik dacht het niet, aangezien er meedere oplossingen zijn.

[TD]

Als je een zinvolle definitie aan "

\(\sqrt\)

" geeft...

[EvilBro]

Bijvoorbeeld: de wortel van het complexe getal z is gelijk aan de hoofdwaarde van de complexe machtfunctie

\(z^{\frac{1}{2}}\)

[kotje]

Men kan bv. ook

\( i=(a+bi)^2\)

stellen en a en b berekenen. Op het eerste zicht kom ik op twee uitkomsten:

\(\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) \mbox{ en...}\)

[kotje]

Mijn vorig bericht is naast de kwestie. Ik denk dat

\(\sqrt{i}\)

geen betekenis heeft omdat in de verzameling van de complexe getallen men geen orde kan definiëren.

In de verzameling reële getallen wel en krijgen we dus

\(\sqrt{4}=2\)

[Klintersaas]

In de verzameling reële getallen wel en krijgen we dus

\(\sqrt{4}=2\)

Of \(-2\) natuurlijk, alhoewel we onder \(\sqrt\) doorgaans wel de positieve vierkantswortel verstaan.

[EvilBro]

Ik denk dat

\(\sqrt{i}\)

geen betekenis heeft

Net zoals bij reeele wortels wordt gewoon de hoofdwaarde ('principal value') genomen. Mijn voorbeeld kwam natuurlijk niet zo uit de lucht vallen...

[kotje]

Of \(-2\) natuurlijk, alhoewel we onder \(\sqrt\) doorgaans wel de positieve vierkantswortel verstaan.

Volgens mij zijn de vierkantswotels uit 4: 2 en -2; maar is

\(\sqrt{4}\)

positief en dus 2.

[Burgie]

Ik vind heel wat (inleidende) cursussen nogal onduidelijk omtrent dit begrip. Ik ben geen theoretische wiskundige van opleiding, en heb deze vragen dus altijd wat naast me laten liggen (hoewel ik natuurlijk wel met complexe getallen kan omgaan...).

In heel wat (beginners)cursussen, of wat de auteurs durven te omschrijven als professionele cursussen, kom ik soms een notatie à la

\(\sqrt\left(-16\right)\)

tegen. Voor ons, tijdens het secundaire onderwijs, was het uit den boze om dit zo te noteren.

Verder vroeg ik me ook af wat er dan eigenlijk met de rekenregels gebeurt? Hoe formuleert een puur wiskundige bvb. de productregel met wortels (die complexe getallen omvat).

Bvb.

\(\sqrt{\left(i\right)} \sqrt{\left(i\right)} \)

en

\( \sqrt\left(i\right) \left(i\right)\)

...

[TD]

Mijn vorig bericht is naast de kwestie. Ik denk dat

\(\sqrt{i}\)

geen betekenis heeft omdat in de verzameling van de complexe getallen men geen orde kan definiëren.

Het gebrek aan 'orde' betekent toch niet dat je geen functies kan definiëren?

[PeterPan]

In heel wat (beginners)cursussen, of wat de auteurs durven te omschrijven als professionele cursussen, kom ik soms een notatie à la

\(\sqrt\left(-16\right)\)

tegen. Voor ons, tijdens het secundaire onderwijs, was het uit den boze om dit zo te noteren.

\(\sqrt{-16}\)

is onzin. Ook in het domein van de complexe getallen.

Toch kom je de schrijfwijze wel tegen onder wiskundigen.

De reden is dan om formules compact te houden.

Bijvoorbeeld: De oplossingen van een vierkantsvergelijking zijn

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\)

.

Dat is lekker kort.

Eigenlijk krijg je 2 verschillende oplossingen, nl een voor

\(D\ge 0\)

en een voor

\(D< 0\)

.

Dat wordt dan veel meer schrijfwerk.

Voor wiskundigen kan er geen misverstand ontstaan daar zij onderling wel weten dat je

\(\sqrt{-16}\)

moet lezen als

\(i\sqrt{16}\)

.

Verder vroeg ik me ook af wat er dan eigenlijk met de rekenregels gebeurt? Hoe formuleert een puur wiskundige bvb. de productregel met wortels (die complexe getallen omvat).

Bvb.

\(\sqrt{\left(i\right)} \sqrt{\left(i\right)} \)

en

\( \sqrt\left(i\right) \left(i\right)\)

...

Dat is nu het gevaar als onervaren personen menen dat zij

\(\sqrt{-16}\)

mogen schrijven (of

\(\sqrt{i}\)

).

Zoals gezegd

\(\sqrt{-16}\)

is onzin, dus je formules zijn onzin in het kwadraat.

Waarom zou met

\(i\)

hebben ingevoerd, als je gewoon

\(\sqrt{-1}\)

kunt schrijven?

[EvilBro]

Enerzijds:

\(\sqrt{-i} = \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i)\)

\(\sqrt{-i} \cdot \sqrt{-i} = \frac{1}{2} (1 - i)^2 = \frac{1}{2} (1 - 2 i -1) = -i\)

Anderzijds:

\(\sqrt{-i \cdot -i} = \sqrt{-1} = i\)

De product regel geldt dus niet voor de complexe wortel:

\(\sqrt{-i \cdot -i} \neq \sqrt{-i} \cdot \sqrt{-i}\)

\(\sqrt{-16}\)

is onzin

Nee, niet als je gewoon gebruikt wat ik hierboven zei, dus:

\(\sqrt{z} = e^{\frac{1}{2} \cdot (\ln |z| + i \cdot \arg(z)}\)

Kortom, als je er maar voor zorgt dat je 'multivalued function' een gewone functie wordt dan is er niks aan de hand (weinig verschillend van de gewone wortel functie dus).

[PeterPan]

\(\sqrt{-i \cdot -i} = \sqrt{-1} = i\)

Hier ga ook jij de mist in.

Je definieert

\(\sqrt{z}\)

als

\(z^{\frac12}\)

.

Maar

\(z^{\frac12}\)

is niet gedefinieerd voor negatieve

\(z\)

.

[Burgie]

Enerzijds:

\(\sqrt{-i} = \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i)\)

\(\sqrt{-i} \cdot \sqrt{-i} = \frac{1}{2} (1 - i)^2 = \frac{1}{2} (1 - 2 i -1) = -i\)

Anderzijds:

\(\sqrt{-i \cdot -i} = \sqrt{-1} = i\)

De product regel geldt dus niet voor de complexe wortel:

\(\sqrt{-i \cdot -i} \neq \sqrt{-i} \cdot \sqrt{-i}\)

Deze fout had ik inderdaad in het achterhoofd toen ik mijn vraag stelde... Vandaar mijn interesse hoe een theoreticus hier mee omspringt.