Sluitingsrelatie.

[Bert F]

men heeft volgende uitdrukking:

\(\sum _{n=1} ^\infty u_n ^* (x') u_n(x)= \delta (x-x') \)

dit is de sluitingsrelatie

Men zegt nu dat het rechterlid gelijk is aan één? hoe kan dit, dit is een dirac distributie waarom heeft die waarde 1 men berekent toch niet de integraal? Groeten.

[Phys]

Ik dacht even te zoeken op 'sluitingsrelatie' en 'closure relation' en kon alleen dit vinden...geen erg bekende term.

Maar inderdaad, het rechterlid is niet zomaar 1. Anders schreef men de sluitingsrelatie wel als

\(\sum _{n=1} ^\infty u_n ^* (x') u_n(x)=1\)

. Ongetwijfeld staat er in de rest van je tekst een of ander argument, of extra info, die ervoor zorgt dat het nul wordt?

[Bert F]

dit is het volledige verhaal:



Dus ik vermoedt dat het (weet eigenlijk) linker deel één is maar waarom het rechterdeel?

[eendavid]

Deze relatie is (iets beter) bekend als de compleetheidsrelatie. Ik weet eigenlijk zeker dat het linkerlid niet 1 is, maar een distributie (net als het rechterlid). Het beste is dat je de uitspraak waar je vragen over hebt geeft ('men zegt dat het rechterlid gelijk is aan 1'), ipv de afleiding van de compleetheidsrelatie.

[Burgie]

Ik zou ook graag het stukje tekst zien waar men stelt dat 'het rechterlid 1 is', want dat is uiteraard een foute uitspraak. Misschien interpreteer je iets fout?

[Burgie]

Nog even een aanvulling

Nu ik je post nog eens herlas merkte ik volgende:

Dus ik vermoeD dat het (weet eigenlijk) linker deel één is maar waarom het rechterdeel?

Uit de quote leid ik af dat het nergens letterlijk vermeld is. Daarom vermeld ik dan ook nog even dat men in de laatste stap gebruik maakt van een fundamentele eigenschap van de dirac functie, met name:

\(\int ^{+ \infty}_{- \infty} \psi(x') \delta (x-x') dx' = \psi(x)\)

.

Voor meer informatie, zie hier.

[Phys]

Deze relatie is (iets beter) bekend als de compleetheidsrelatie.

Ah, de volledigheidsrelatie! (zo wordt deze bij ons genoemd)

Afleiding zoals ik die heb gezien:

Verborgen inhoud

Orthonormale discrete basis:

\(\left<e_i|e_j\right>=\delta_{ij}\)

\(\left<v|w\right>=\sum_{i=1}^N\left<v|e_i\right>\left<e_i|w\right>\)

oftewel

volledigheidsrelatie:

\(1=\sum_{i=1}^N\left.|e_i\right>\left<e_i|\)

Orthonormale continue basis:

\(\left<x_0|x\right>=\delta(x_0-x)\)

Plaatsrepresentatie:

\(\left|\Psi\right>=\int dx\ \Psi(x)\left|x\right>\Rightarrow \left<x_0|\Psi\right>=\int dx\ \Psi(x)\left<x_0|x\right>=\int dx\ \Psi(x)\delta(x_0-x)=\Psi(x_0)\)

voor alle x0, oftewel

\(\left<x|\Psi\right>=\Psi(x)\)

Daaruit volgt

\(\left|\Psi\right>=\int dx\ \left<x|\Psi\right>\left|x\right>\)

dus

\(\left<\Phi|\Psi\right>=\int dx\ \left<\Phi|x\right>\left<x|\Psi\right>\)

volledigheidsrelatie:

\(1=\int dx\ \left|x\right>\left<x\right|\)

[Bert F]

Bedankt voor de reacties.

Men leid de sluitingsrelatie twee maal af omdat ik denk dat het eerste gelijk moet zijn aan het tweede veronderstel ik dat betreffende rechterlid 1 moet zijn, in volgende heb je toch ook de identiteitsoperator.

[Phys]

mdat ik denk dat het eerste gelijk moet zijn aan het tweede veronderstel ik dat betreffende rechterlid 1 moet zijn

Maar dan ga je ervan uit dat

\(u_n^*(x')u_n(x)\)

gelijk is aan

\(\left|u_n\right>\left<u_n\right|\)

. Dat is toch niet zo?

[Bert F]

maar hoe volgt dan de equivalentie van beide manieren van werken?

[eendavid]

Volgende gebruikt de sommatieconventie.

Doordat beide relaties equivalent zijn leer je dat de operator

\(|u_n><u_n|\)

dezelfde operator is als deze gedefinieerd door

\(f\mapsto g: g(x')=\int dxu_n^*(x')u_n(x)f(x)\)

.

Eigenlijk weet je dat al, indien je de betekenis van de bracketnotatie in de L_2 - Hilbertruimte begrijpt.

Beide operatoren zijn de eenheidsoperator. Dat is natuurlijk iets heel anders dan beweren dat de dirac-distributie (of

\(u_n(x)'^*u_n(x)\)

) één is.

[Bert F]

kan ik hier ook de eenheidsoperator in herkennen of is dat opnieuw fout?

\(\sum _{n=1} ^\infty u_n ^* (x') u_n(x)=\delta(x-x')\)

[eendavid]

Deze distributie definieert een operator die de eenheidsoperator is. Hoe deze correspondentie distributie - operator precies bestaat leer je bijvoorbeeld op wikipedia (eng).

[Bert F]

er is dus een verschil tussen het zeggen dat daar 1 staat en dat het de eenheidsoperator is?

[eendavid]

Het is geen operator, het is een distributie. Zeggen dat een distributie 1 is, is zeggen dat deze gelijk is aan de functie f(x)=1. Wanneer je over een operator zegt dat hij 1 is, dan zal iedereen begrijpen dat je de eenheidsoperator bedoelt.