oplossing Schrodinger-vergelijking

[aaargh]

In lijn boekje van QM staat de formule voor de schrodingervergelijking:



Als oplossign heb ik hiervoor gevonden:



Vraagjes:

1. Klopt de eerste vergelijking wel, is dit de schrodingervergelijking?

2. Klopt mijn oplossing als je aanneemt dat vraag 1 juist is?

3. Wat moet ik me nu bij die toestandsfunctie voorstellen?

[Bart]

1) Deze klopt op voorwaarde dat:

- de golffunctie niet van de tijd afhangt (tijdsonafhankelijkheid)

- Er geen potentiaal aanwezig is (V = 0)

- Er bij de tweede term nog een E (energie) komt te staan (tikfoutje?)

2) Dat is een oplossing, maar niet de complete oplossing

3) een vrij deeltje

[aaargh]

1 Hij staat er bij

2. Kun je me dan nog een oplossign geven? (met sinus misschien)

3. Nee, ik bedoel beschrijft dit de beweging van het deeltje of zo?

Ik heb inderdaad de eenvoudigste vorm genoomen, zonder potetiaal of tijdsafhankelijkhied

[Bart]

2 Je bent aan het worteltrekken. Hoeveel oplossingen komen daaruit?

Er moeten trouwens ook nog constantes voor de oplossingen.

3 Nee, deze beschrijft niet de beweging van het deeltje. De absolute waarde kwadraat de kans aangeeft om het deeltje daar te vinden. Overigens is dit geen echt vrij deeltje, omdat de tijdsafhankelijkheid eruit is gefilterd (die oplossing zou er dan ook nog bij moeten komen).

Het probleem is echter dat de oplossing niet normaliseerbaar is (er komt oneindig uit), wat betekent dat een vrij deeltje met een eindige energie niet bestaat. Fysisch gezien bestaat zo'n deeltje dus niet.

[aaargh]

2 Je bent aan het worteltrekken. Hoeveel oplossingen komen daaruit?

Er moeten trouwens ook nog constantes voor de oplossingen.

3 Nee, deze beschrijft niet de beweging van het deeltje. De absolute waarde kwadraat de kans aangeeft om het deeltje daar te vinden. Overigens is dit geen echt vrij deeltje, omdat de tijdsafhankelijkheid eruit is gefilterd (die oplossing zou er dan ook nog bij moeten komen).

Het probleem is echter dat de oplossing niet normaliseerbaar is (er komt oneindig uit), wat betekent dat een vrij deeltje met een eindige energie niet bestaat. Fysisch gezien bestaat zo'n deeltje dus niet.

Oneindig? Wat bedoel je?

[Bart]

Oneindig? Wat bedoel je?

Probeer de oplossing eens te normalizeren. Er komt dan uit:

|A|² = 1

[aaargh]

Ah, ik heb er nog eentje:

psi=sin(sqrt(2mE/h-bar^2)x)

deze is nu weer iets anders. wat moet ik me bij deze vergelijking voorstellen?

[StrangeQuark]

Ben zelf net met Quantum bezig bij de UT. Ik vroeg me af, wat wil je eigenlijk? Dit komt misschien lomp over, maar je vraag is toch in principe beantwoord door Bart? Ik weet niet wat je bedoelt met "Wat je je bij deze formule moet voorstellen".

Als je maar genoeg een experiment met een deeltje herhaalt, (Bijvoorbeeld een dubbel-spleet experiment met electronen) dan komt er een bepaalde kans uit dat een deeltje zich op een bepaalde plek bevind. De kans dat dat deeltje na duizenden en duizenden keren met het deeltje schieten op een bepaalde plek is, is te halen uit de golffunctie. (De integraal (-oneindig --> +oneindig) van het kwadraat van de golffunctie althans.

Met de oneindigheid bedoelt Bart dat als je de golffunctie (wat jij uitrekent) kwadrateerd en dan integreert dat daar dan de kans uit komt dat je een deeltje op een bepaalde plek kan vinden. Je bekijkt dus de oppervlakte onder de kansgrafiek. Het is dus belangrijk dat de grafiek in totaal 1 is. (zie de formule van Bart) Dit is belangrijk omdat je in ieder geval weet dat het deeltje ERGENS onder die grafiek is. Dus de totale kans moet 1 zijn. (100% van de gevallen is het deeltje ergens onder je kansgrafiek) Je moet dus je vergelijking kunnen normaliseren. Normaliseren is dus ervoor zorgen dat de integraal van de gekwadrateerde mogelijke oplossing van de Schroedinger vergelijking op 1 uitkomt.

[sirius]

Het vrije deeltje is wel normaliseerbaar:

De oplossing uit de eerste post geeft eigenlijk een volledige set orthogonale oplossing. Elke lineaire combinatie van die oplossingen is weer een oplossing en je kunt bewijzen dat je elke oplossing van die vergelijking kunt schrijven als lineaire combinatie van de in de eerste post gevonden oplossingen.

Om de functie normaliseerbaar te maken moet je echter nog een slimme lineaire combinatie van de gevonden set oplossingen. Kies hiervoor een normaliseerbare beginvoorwaarde, dus een psi(x,t=0), ontbind deze in fouriercomponenten (dit zijn dus de oplossingen van de eerste post) en schrijf psi(x,t) als optelling van deze componenten en voila een normaliseerbaar vrij deeltje!

[Bart]

Het vrije deeltje is wel normaliseerbaar:

De oplossing uit de eerste post geeft eigenlijk een volledige set orthogonale oplossing. Elke lineaire combinatie van die oplossingen is weer een oplossing en je kunt bewijzen dat je elke oplossing van die vergelijking kunt schrijven als lineaire combinatie van de in de eerste post gevonden oplossingen.

Om de functie normaliseerbaar te maken moet je echter nog een slimme lineaire combinatie van de gevonden set oplossingen. Kies hiervoor een normaliseerbare beginvoorwaarde, dus een psi(x,t=0), ontbind deze in fouriercomponenten (dit zijn dus de oplossingen van de eerste post) en schrijf psi(x,t) als optelling van deze componenten en voila een normaliseerbaar vrij deeltje!

Kun je dat eens voordoen dan? Er is aangetoond dat de golffunctie van een vrij deeltje niet normaliseerbaar is. Voor vrije deeltjes wordt dan ook gebruik gemaakt van golfpakketjes. Zie bijvoorbeeld hier:

http://panda.unm.edu/Courses/Fields/phys49...reeParticle.pdf

[Bert]

Het vrije deeltje is wel normaliseerbaar:

De oplossing uit de eerste post geeft eigenlijk een volledige set orthogonale oplossing. Elke lineaire combinatie van die oplossingen is weer een oplossing en je kunt bewijzen dat je elke oplossing van die vergelijking kunt schrijven als lineaire combinatie van de in de eerste post gevonden oplossingen.

Om de functie normaliseerbaar te maken moet je echter nog een slimme lineaire combinatie van de gevonden set oplossingen. Kies hiervoor een normaliseerbare beginvoorwaarde, dus een psi(x,t=0), ontbind deze in fouriercomponenten (dit zijn dus de oplossingen van de eerste post) en schrijf psi(x,t) als optelling van deze componenten en voila een normaliseerbaar vrij deeltje!

Maar dan moet je wel een lineaire combinatie gebruiken van oplossingen met verschillende energieën.

[Elmo]

Inderdaad: dan zit je dus niet meer in een eigentoestand van de Hamiltoniaan!

[sirius]

Wat Bert en Elmo zeggen klopt perfect. De lineaire combinatie waar ik het over had wordt inderdaad ook wel golfpakketje genoemd. Maar dit pakketje is nog steeds wel een oplossing van de (tijdafhankelijke) schreudinger vergelijking, en dus een geldige golffunctie.

Het klopt wel dat de oplossingen van de tijdonafhankelijke schreudinger vergelijking voor het vrije deeltje niet normaliseerbaar zijn.

[aaargh]

En wat als ik nu de oplossing sin(sqrt(2m/h-bar² E)x) neem?

De waarschijnmijkheid hiervan sin(sqrt(2m/h-bar² E)x)². Maar wat is de integraal hier nu van als ik als pad neem van 0 tot ?

En wat is dan de waarschijnlijkheid voor de plaats? En voor de impuls? EN bewwegt dit golfpakketje dan? Of heb ik hiervoor de tijdsafhankelijke schrodingervergelijking nodig?

[Bart]

Je wil niet het pad tussen 0 en hebben, maar je wilt integreren over de gehele ruimte (De kans om een deeltje in de gehele ruimte te kunnen vinden moet 1 zijn).

Probeer sin² maar eens te integreren over de gehele ruimte. Het antwoord is onbepaald (vanwege zijn periodiciteit).