Die valt vrij eenvoudig te berekenen:
\(\Phi=\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}\)
\(\Phi^2-\Phi-1=0 \Leftrightarrow \Phi = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)
Deze Gulden Snede heeft tal van bijzondere eigenschappen zoals:* het feit dat opeenvolgende machten van de Gulden Snede optelbaar zijn (zgn. "recurrence relation");
* er is een directe relatie bestaat met de reeks van Fibonacci;
* je kunt hem schrijven als recursieve wortel en een recursieve breuk met enkel het getal 1 (de Gulden Snede wordt ook wel het meest irrationale getal genoemd, maar er bestaat een concurrent dus lees gauw verder!).
Stel dat we de negatieve tegenhanger van de Gulden Snede (ik noem hem
\(\Phi_{i}\)
) als volgt definieren:\(\Phi_{i}=\frac{a}{b}=\frac{a-b}{a}\)
\(\Phi_{i}^2-\Phi+1=0 \Leftrightarrow \Phi = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}\)
Alhoewel het onmogelijk is om deze ratio in een tekening of bouwwerk weer te geven of er een mooie vijfhoek van de maken, blijkt deze tegenhanger ook al die mooie eigenschappen van de echte Gulden Snede te hebben! Ten eerste ligt er een hele directe link naar
\(\pi\)
en \(e\)
want:\(\Phi_{i} = e^{\pm \frac{\pi i}{3}}\)
Ten tweede vond ik net zo'n mooie link naar Fibonacci, maar dan naar de negatieve equivalent daarvan:\( F_0 = 0\)
\( F_1 = -1\)
\( F_n = F_{n-1} - F_{n-2)\)
Dit resulteert in de reeks:0,-1,-1, 0, 1, 1, 0,-1,-1, 0, 1, 1, 0...
en je kunt elk getal in de reeks bepalen met de formule (net zoals bij Fibonacci):
\(F_n = \frac{(1-i \sqrt(3))^n - (1+i \sqrt(3))^n}{2^ni\sqrt(3)}\)
Ten derde blijkt dat de opeenvolgende machten gewoon van elkaar afgetrokken kunnen worden (i.p.v. opgeteld):\(\Phi_{i}^n =\Phi_{i}^{n-1} - \Phi_{i}^{n-2}\)
Als je n = 1 invult, dan ontstaat de speciale relatie:\(\Phi_{i} =1 - \frac{1}{\Phi_{i}}\)
En die kunnen we gebruiken om de recursieve fractie te bepalen (gewoon telkens de formule voor \( \Phi_{i}\)
voor de \( \Phi_{i}\)
onder het breukteken invullen. Dan krijg je:\(\Phi _{i}= 1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- ...}}}}\)
(dus hoezo \(\Phi\)
is het meest irrationale getal?)En daarmee ontstaat de mogelijkheid om stiekem
\(i\)
te definieren zonder een wortel uit een negatief getal te gebruiken :\( \frac12 + \frac12 i \sqrt(3) = 1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- ...}}}}\)
\( i = \frac{\frac12- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- ...}}}}}{\frac12 \sqrt(3)}\)
Maar laten we als laatste de recursieve wortel niet vergeten die ook keurig blijkt te kloppen (maar dan met -1):
\(\Phi _{i}= \sqrt{-1+\sqrt{-1+\sqrt{-1+\sqrt{-1+\sqrt{-1+...}}}}}\)
Ik heb dit in stukjes en beetjes eerder deze week op een Amerikaans wiskundeforum gepost maar kreeg nog geen reacties. Dus wellicht doe ik wel iets heel stoms...
Al was het maar een kleine kruimel die de grote wiskundigen hebben laten liggen.