door jkien » di 16 aug 2022, 18:30
jkien schreef: ↑do 11 aug 2022, 01:12
Er blijkt een simpele formule te zijn om de grondtoon om te rekenen in de diameter D van de klok, namelijk f⋅D = c, waarin c een constante is. Dit werkt prima binnen een serie gelijkvormige klokken. In een klokkentoren zijn de klokken vaak gelijkvormig, met dezelfde constante, en veel Noord-Europese klokken hebben ongeveer dezelfde constante. De constante hangt af van de gebruikte partiaal: c
nominal = 2⋅c
slagtoon = 4⋅c
hum ; niet iedereen gebruikt dezelfde partiaal.
Is er een theoretische onderbouwing te bedenken voor de relatie f⋅D = c, die bovendien een schatting voor de constante c oplevert? Ja, in een oud topic werd de formule van French voor de grondtoon van een
wijnglas besproken.(
link) French modelleerde het wijnglas als een beker, een elastische holle cilinder met straal R, hoogte H en wanddikte a, op een vaste bodem. Ook een kerkklok kan gemodelleerd worden als een cilindrische beker. De materiaaleigenschappen van de bekerwand zijn dichtheid ρ en elasticiteitsmodulus Y. De formule van French voor de grondtoon van een wijnglas is
\(f = c_1 c_2 c_3 \frac{a}{R^2}\) , waar
\(c_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{3}{5}} = 0.123\),
\(c_2 = \sqrt{1+\frac{4}{3} \left (\frac{R}{H} \right)^{4}}\), en
\(c_3=\sqrt{\frac{Y}{\rho}}\). Voor bekers die ongeveer even hoog als breed zijn, zoals kerkklokken, is
\(\frac{D}{H}\approx1\), zodat
\(c_2 \approx 1\) binnen 4%. De meeste kerkklokken zijn van brons, zodat
\(c_3 = \sqrt{\frac{Y}{\rho}} = \sqrt{\frac{100\,GPa}{8900\,kg/m^3}} = 3600\,m/s\). Veel Noord-Europese klokken blijken enigszins gelijkvormig te zijn waarbij a/D = 1/13. Uit deze gegevens volgt dat de waarde van de constante c = 136 m/s is, dus f⋅D = 136 m/s. De diameter van Salvator van de Zuiderkerk is 1.68 m, zodat theoretisch f
hum = 75 Hz. De gemeten grondtoon is 120 Hz (de laagste partiaaltoon, de hum). De diameter van Big Ben is 2.70 m. Het brons van de Big Ben, dat weinig tin bevat, is harder dan het traditionele brons, Y=200 GPa, en de a/D waarde is 1/12, zodat theoretisch f
hum = 72 Hz. De gemeten grondtoon is 97 Hz.
In de onderstaande grafiek over de grondtoon bij wijnglazen (uit
link) heb ik Salvator en de Big Ben linksonder toegevoegd als twee kruisjes. De grafiek vergelijkt de berekende grondtoon van de French-formule met de gemeten grondtoon. Salvator wijkt ongeveer evenveel af van de theorie als wijnglazen: de berekende grondtoon is iets lager dan de gemeten. De Big Ben wijkt wat meer af.
[quote=jkien post_id=1171687 time=1660173149 user_id=18370]
Er blijkt een simpele formule te zijn om de grondtoon om te rekenen in de diameter D van de klok, namelijk f⋅D = c, waarin c een constante is. Dit werkt prima binnen een serie gelijkvormige klokken. In een klokkentoren zijn de klokken vaak gelijkvormig, met dezelfde constante, en veel Noord-Europese klokken hebben ongeveer dezelfde constante. De constante hangt af van de gebruikte partiaal: c[sub]nominal[/sub] = 2⋅c[sub]slagtoon[/sub] = 4⋅c[sub]hum[/sub] ; niet iedereen gebruikt dezelfde partiaal.
[/quote]
Is er een theoretische onderbouwing te bedenken voor de relatie f⋅D = c, die bovendien een schatting voor de constante c oplevert? Ja, in een oud topic werd de formule van French voor de grondtoon van een [i]wijnglas[/i] besproken.([url=https://sciencetalk.nl/forum/viewtopic.php?p=1033751#p1033751]link[/url]) French modelleerde het wijnglas als een beker, een elastische holle cilinder met straal R, hoogte H en wanddikte a, op een vaste bodem. Ook een kerkklok kan gemodelleerd worden als een cilindrische beker. De materiaaleigenschappen van de bekerwand zijn dichtheid ρ en elasticiteitsmodulus Y. De formule van French voor de grondtoon van een wijnglas is [itex]f = c_1 c_2 c_3 \frac{a}{R^2}[/itex] , waar [itex]c_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{3}{5}} = 0.123[/itex], [itex]c_2 = \sqrt{1+\frac{4}{3} \left (\frac{R}{H} \right)^{4}}[/itex], en [itex]c_3=\sqrt{\frac{Y}{\rho}}[/itex]. Voor bekers die ongeveer even hoog als breed zijn, zoals kerkklokken, is [itex]\frac{D}{H}\approx1[/itex], zodat [itex]c_2 \approx 1[/itex] binnen 4%. De meeste kerkklokken zijn van brons, zodat [itex]c_3 = \sqrt{\frac{Y}{\rho}} = \sqrt{\frac{100\,GPa}{8900\,kg/m^3}} = 3600\,m/s[/itex]. Veel Noord-Europese klokken blijken enigszins gelijkvormig te zijn waarbij a/D = 1/13. Uit deze gegevens volgt dat de waarde van de constante c = 136 m/s is, dus f⋅D = 136 m/s. De diameter van Salvator van de Zuiderkerk is 1.68 m, zodat theoretisch f[sub]hum[/sub] = 75 Hz. De gemeten grondtoon is 120 Hz (de laagste partiaaltoon, de hum). De diameter van Big Ben is 2.70 m. Het brons van de Big Ben, dat weinig tin bevat, is harder dan het traditionele brons, Y=200 GPa, en de a/D waarde is 1/12, zodat theoretisch f[sub]hum[/sub] = 72 Hz. De gemeten grondtoon is 97 Hz.
In de onderstaande grafiek over de grondtoon bij wijnglazen (uit [url=https://sciencetalk.nl/forum/viewtopic.php?p=1037296#p1037296]link[/url]) heb ik Salvator en de Big Ben linksonder toegevoegd als twee kruisjes. De grafiek vergelijkt de berekende grondtoon van de French-formule met de gemeten grondtoon. Salvator wijkt ongeveer evenveel af van de theorie als wijnglazen: de berekende grondtoon is iets lager dan de gemeten. De Big Ben wijkt wat meer af.
[attachment=0]French.png[/attachment]
