door martinvb » ma 17 nov 2008, 18:35
Je zit in de \mathbb{R}^n te werken, een gesloten interval heeft hier geen betekenis voor n>1. Je moet een ruimte hebben waar afstanden gelden (of formeler gezegd: genormeerde ruimte / Hilbertruimte).
Volgens de definitie (op \mathbb{R}^n)
Een verzameling \mathcal{O}\subseteq \mathbb{R}^n noemen we een open gebied als voor elk punt x\in \mathcal{O} geldt dat:
Er is een \epsilon>0 zodat y\in O voor alle y\in \mathbb{R}^n waarvoor geldt dat ||y-x||<\epsilon
Meetkundig kan je je voorstellen dat er om elk punt een heel klein 'bolletje' getekend kan worden zó, dat elk punt in het bolletje ook tot \mathcal{O} behoort. ||x-y|| is hier de norm ('afstand') tussen de punten x en y.
Opmerking 1: \mathbb{R}^n is een open gebied.
Opmerking 2: Een gebied \mathcal{C}\subseteq \mathbb{R}^n is een gesloten gebied (per definitie!) als alle punten die niet in het \mathcal{C} zitten maar wel in \mathbb{R}^n een open gebied vormen.
Opmerking 3: Er zijn ook gebieden die niet open en niet gesloten zijn.
Opmerking 4: Als n=1 dan komt 'open gebied' overeen met een open interval en 'gesloten gebied' overeen met gesloten interval.
Je zit in de [formule]\mathbb{R}^n[/formule] te werken, een gesloten interval heeft hier geen betekenis voor n>1. Je moet een ruimte hebben waar afstanden gelden (of formeler gezegd: genormeerde ruimte / Hilbertruimte).
Volgens de definitie (op [formule]\mathbb{R}^n[/formule])
Een verzameling [formule]\mathcal{O}\subseteq \mathbb{R}^n[/formule] noemen we een open gebied als voor elk punt [formule]x\in \mathcal{O}[/formule] geldt dat:
Er is een [formule]\epsilon>0[/formule] zodat [formule]y\in O[/formule] voor alle [formule]y\in \mathbb{R}^n[/formule] waarvoor geldt dat [formule]||y-x||<\epsilon[/formule]
Meetkundig kan je je voorstellen dat er om elk punt een heel klein 'bolletje' getekend kan worden zó, dat elk punt in het bolletje ook tot [formule]\mathcal{O}[/formule] behoort. [formule]||x-y||[/formule] is hier de norm ('afstand') tussen de punten x en y.
Opmerking 1: [formule]\mathbb{R}^n[/formule] is een open gebied.
Opmerking 2: Een gebied [formule]\mathcal{C}\subseteq \mathbb{R}^n[/formule] is een gesloten gebied (per definitie!) als alle punten die niet in het [formule]\mathcal{C}[/formule] zitten maar wel in [formule]\mathbb{R}^n[/formule] een open gebied vormen.
Opmerking 3: Er zijn ook gebieden die niet open en niet gesloten zijn.
Opmerking 4: Als n=1 dan komt 'open gebied' overeen met een open interval en 'gesloten gebied' overeen met gesloten interval.
