Het kan toch gemakkelijk in één integraal? We gebruiken de formule voor manteloppervlakte:
\( S = 2 \pi \int^a_b |y(x)| \sqrt{1 + [y'(x)]^2} \cdot dx \)
We leggen de bol op zijn kant. De vergelijking oor een cirkel is:
\( y = \sqrt{r^2 - x^2} \)
De afgeleide is :
\( y' = \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2 } } \)
\( 1 + [y'(x)]^2 \)
is dus
\( \frac{r^2}{r^2 - x^2}\)
S is dus
\( 2 \pi \int^r_{\frac{r}{2}} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2 }} \cdot dx\)
\( S = 2 \pi r \int^r_{\frac{r}{2}} dx = 2 \pi r [x]^r_{\frac{r}{2}} = 2 \pi \frac{r^2}{2} = \pi r^2 \)
Wat toevallig ook de oppervlakte is van een cirkel met straal r.
Akkoord? Of heb ik een fout gemaakt.
Het kan toch gemakkelijk in één integraal? We gebruiken de formule voor manteloppervlakte:
[tex] S = 2 \pi \int^a_b |y(x)| \sqrt{1 + [y'(x)]^2} \cdot dx [/tex]
We leggen de bol op zijn kant. De vergelijking oor een cirkel is: [tex] y = \sqrt{r^2 - x^2} [/tex]
De afgeleide is : [tex] y' = \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2 } } [/tex]
[tex] 1 + [y'(x)]^2 [/tex] is dus [tex] \frac{r^2}{r^2 - x^2}[/tex]
S is dus [tex] 2 \pi \int^r_{\frac{r}{2}} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2 }} \cdot dx[/tex]
[tex] S = 2 \pi r \int^r_{\frac{r}{2}} dx = 2 \pi r [x]^r_{\frac{r}{2}} = 2 \pi \frac{r^2}{2} = \pi r^2 [/tex]
Wat toevallig ook de oppervlakte is van een cirkel met straal r.
Akkoord? Of heb ik een fout gemaakt.
