[quote]Ik heb niet zoveel verstand van wiskundige notaties, maar vind het lezen van de topic in grote lijnen wel interessant[/quote]

Er bestaat nog een eenvoudiger variant van deze theorie, zie:

[url=http://sciencetalk.nl/forum/index.php?showtopic=140408]http://sciencetalk.nl/forum/index.php?showtopic=140408[/url]

Verder zijn vragen over onduidelijke punten zeer welkom! Het is vooral omdat ik geen reacties meer kreeg dat ik met de verdere uitwerking gestopt was. Mocht er nog belangstelling zijn, dan ga ik er graag weer mee verder (maar dan liefst met de bovengenoemde eenvoudiger variant). Graag tot ziens!

Ik volg als student uw topic en vind de filosofische gedachte dat bij 3*2 = 6 en 6*1=6 (alhoewel dit dezelfde uitkomst geeft) informatie verloren gaat interessant. Dit gebeurt ook bij kwadratische functies waarbij we in bepaalde gevallen 2 uitkomsten hebben en wiskundig moeten uitkijken om 1 van de 2 uitkomsten niet per ongeluk tijdens het herleiden weg te delen.

Ik heb niet zoveel verstand van wiskundige notaties, maar vind het lezen van de topic in grote lijnen wel interessant

[quote]Maar ik speel inmiddels wel met de gedachte om ook [i]oneigenlijke[/i] verschilgetallen a~b (met a en/of b niet-positieve reële getallen) toe te laten. Daarmee zouden vermoedelijk de 'lelijke' definities van het pseudoquotiënt en van de verschilversies van reële functies door eleganter vormen vervangen kunnen worden.[/quote]

Om verwarring te voorkomen heb ik ervoor gekozen bovenstaande idee in een afzonderlijk topic uit te werken:

[url=http://sciencetalk.nl/forum/index.php?s=&showtopic=140408&view=findpost&p=681112]http://sciencetalk.nl/forum/index.php?s...st&p=681112[/url]

Mocht dat geen verbetering opleveren, dan kunnen we altijd weer op de theorie van dit topic terugvallen.

[quote='317070' post='678943' date='9 July 2011, 12:42'][tex] a \in \mathbb{S}; b,c \in \mathbb{R}: a = (b,c)[/tex] met een heleboel gedefinieerde bewerkingen.

Dit heeft als gevolg dat nog steeds enkele bewerkingen geen gedefinieerde uitkomst hebben, wat we net proberen te vermijden. Je komt namelijk ergens opnieuw terug op het probleem x/y met y een reëel getal, het probleem is gewoon wat verlegd. Bijvoorbeeld in de formule (a,b) = (2.(x/y) , x/y)

Dus mijn voorstel: maak er dit van:

[tex] a,b,c \in \mathbb{S}: a = (b,c)[/tex] ;)

Dan zijn alle basisbewerking en hun inversen altijd goed gedefinieerd, lijkt mij op het eerste gezicht :P De circulariteit moet je er wel bij nemen, maar die leidt volgens mij niet tot inconsistenties. Bovendien verdwijnen de resultaten die je al had op het eerste gezicht niet.

Het voordeel is dat hier alle bewerkingen altijd gedefinieerd zijn.[/quote]

Een strikt circulaire definitie gaat wat ver, dat is eerder iets voor een afzonderlijk topic. Maar ik speel inmiddels wel met de gedachte om ook [i]oneigenlijke[/i] verschilgetallen a~b (met a en/of b niet-positieve reële getallen) toe te laten. Daarmee zouden vermoedelijk de 'lelijke' definities van het pseudoquotiënt en van de verschilversies van reële functies door eleganter vormen vervangen kunnen worden.

Een groot deel van de overige theorie blijft overigens overeind voor getallen a~b ook wanneer a en b uit [i]alle[/i] reële getallen gekozen mogen worden.

Hier dan de plaatjes. Voor de verheffingsindex v is 1 gekozen. De afzonderlijke vlakjes die je op de plaatjes ziet zijn uiteraard een artefact van de programmatuur.

[b]De functie L:[/b]

[attachment=8300:Plaatje_...unctie_L.JPG]

[b]De functie R:[/b]

[attachment=8301:Plaatje_...unctie_R.JPG]

[b]De functie G:[/b]

[attachment=8302:Plaatje_...unctie_G.JPG]

[i]De plaatjes zijn gemaakt met[/i] SpaceTime 4.0.

Een leuk voorbeeld van het soort plaatjes dat mogelijk is biedt de functie:

[tex] f(t) = \sin \left ( \frac{18}{7} \, . \, \sin(t) \, + \, \frac{8}{9} \right ) [/tex] .

In dat geval vinden we:

[tex] f^+(t) \, = \, \vert f(t) \vert \, + \, f(t) [/tex]

[tex] f^+(t) \, = \, \left \vert \, \sin \left ( \frac{18}{7} \, . \, \sin(t) \, + \, \frac{8}{9} \right ) \right \vert \, + \, \sin \left ( \frac{18}{7} \, . \, \sin(t) \, + \, \frac{8}{9} \right ) [/tex] .

[tex] f^-(t) \, = \, \vert f(t) \vert \, - \, f(t) [/tex]

[tex] f^-(t) \, = \, \left \vert \, \sin \left ( \frac{18}{7} \, . \, \sin(t) \, + \, \frac{8}{9} \right ) \right \vert \, - \, \sin \left ( \frac{18}{7} \, . \, \sin(t) \, + \, \frac{8}{9} \right ) [/tex] .

En verder:

[tex] f_v(a \sim b) \, = \, \left ( \frac{ \vert f(a+b) \vert \, + \, f^+(a-b) \, + \, v }{2} \right ) \, \sim \, \left ( \frac{ \vert f(a+b) \vert \, + \, f^-(a-b) \, + \, v }{2} \right ) [/tex] .

Dus voor de linker component L(a~b) en de rechter component R(a~b) van de functiewaarde komt er:

[tex] L(a \sim b) \, = \, \frac{ \vert f(a+b) \vert \, + \, f^+(a-b) \, + \, v }{2} [/tex]

[tex] L(a \sim b) \, = \, \frac{ \vert \sin \left ( \frac{18}{7} \, . \, \sin(a + b) \, + \, \frac{8}{9} \right ) \vert \, + \, \left \vert \sin \left ( \frac{18}{7} \, . \, \sin(a - b) \, + \, \frac{8}{9} \right ) \right \vert \, + \, \sin \left ( \frac{18}{7} \, . \, \sin(a - b) \, + \, \frac{8}{9} \right ) \, + \, v }{2} [/tex] .

[tex] R(a \sim b) \, = \, \frac{ \vert f(a+b) \vert \, + \, f^-(a-b) \, + \, v }{2} [/tex]

[tex] R(a \sim b) \, = \, \frac{ \vert \sin \left ( \frac{18}{7} \, . \, \sin(a + b) \, + \, \frac{8}{9} \right ) \vert \, + \, \left \vert \sin \left ( \frac{18}{7} \, . \, \sin(a - b) \, + \, \frac{8}{9} \right ) \right \vert \, - \, \sin \left ( \frac{18}{7} \, . \, \sin(a - b) \, + \, \frac{8}{9} \right ) \, + \, v }{2} [/tex] .

Ook nog interessant om te bekijken is het hoe de antireële waarde van de functiewaarde van f[sub]v[/sub] afhangt van r = rw(a~b) en s = aw(a~b). Laten we deze afhankelijkheid in de functie G vatten:

[tex] aw(f_v(a \sim b)) \, = \, \vert f(aw(a \sim b)) \vert \, + \, \vert f(rw(a \sim b)) \vert \, + \, v [/tex]

[tex] G(r,s) \, = \, \vert f(s) \vert \, + \, \vert f( r) \vert \, + \, v [/tex]

[tex] G(r,s) \, = \, \left \vert \, \sin \left ( \frac{18}{7} \, . \, \sin(s) \, + \, \frac{8}{9} \right ) \right \vert \, + \, \left \vert \, \sin \left ( \frac{18}{7} \, . \, \sin( r) \, + \, \frac{8}{9} \right ) \right \vert \, + \, v [/tex] .

De plaatjes voor L, R en G volgen later...

Met onderstaande online programmatje heb ik wat geëxperimenteerd: de verschilfuncties geven zeer fraaie plaatjes!

[url=http://www.livephysics.com/ptools/online-3d-function-grapher.php?ymin=-1&xmin=-1&zmin=Auto&ymax=1&xmax=1&zmax=Auto&f=x%5E2-y%5E2]http://www.livephysics.com/ptools/online-3...p;f=x%5E2-y%5E2[/url]

Met name voor de goniometrische functies. Wellicht zijn deze bruikbaar in de architectuur?

Mogen zulke plaatjes hier geplaatst worden, zijn er problemen met copyright? Kunnen we er een wedstrijdje van maken? Is dat nog (recreatieve) wetenschap? Ik weet het even niet meer...

Kortom: hoe nu verder? Reacties graag...

Om de aanvankelijke elegantie van de uitwerking te herwinnen zie ik af van de introductie van de transcendente (verschil)functies middels oneindige reeksen, en probeer ik het langs een andere weg. Zie eens hier:

[quote='Bartjes' post='679022' date='10 July 2011, 11:56']Voor alle verschilgetallen a~b geldt:

[tex] (a \sim b)^n \, = \left (\frac{(a + b)^n \, + \, (a - b)^n}{2} \right ) \sim \left (\frac{(a + b)^n \, - \, (a - b)^n}{2} \right ) [/tex][/quote]

Dat waren nog eens mooie uitdrukkingen! De bovenste suggereert een snelle generalisatie van willekeurige reële functies tot verschilfuncties:

[tex] f^*(a \sim b) \, = \left (\frac{f(a + b) \, + \, f(a - b)}{2} \right ) \sim \left (\frac{f(a + b) \, - \, f(a - b)}{2} \right ) [/tex] .

Maar helaas gaat dat in deze eenvoudige vorm niet lukken, voor verschilgetallen z = x~y moeten x en y immers per definitie positief zijn. Daar zullen we nu een mouw aan passen.

Voor alle reële functies f geldt:

[tex] f(x) \, = \, \frac{1}{2} \, . \, ( f(x) \, + \, f(x) ) [/tex]

[tex] f(x) \, = \, \frac{1}{2} \, . \, (( f(x) \, + \, f(x) ) \, + \, ( \vert f(x) \vert \, - \, \vert f(x) \vert ) ) [/tex]

[tex] f(x) \, = \, \frac{1}{2} \, . \, (( \vert f(x) \vert \, + \, f(x) ) \, - \, ( \vert f(x) \vert \, - \, f(x)) ) [/tex] .

We definiëren:

[tex] f^+(x) \, = \, \vert f(x) \vert \, + \, f(x) [/tex] ,

[tex] f^-(x) \, = \, \vert f(x) \vert \, - \, f(x) [/tex] .

Het is duidelijk dat f[sup]+[/sup] en f[sup]-[/sup] allebei niet-negatief zijn. Verder geldt:

[tex] f(x) \, = \, \frac{1}{2} \, . \, (f^+(x) \, - \, f^-(x) ) [/tex] ,

[tex] \vert f(x) \vert \, = \, \frac{1}{2} \, . \, (f^+(x) \, + \, f^-(x) ) [/tex] .

Nu definiëren we:

[tex] f_v(a \sim b) \, = \, \left ( \frac{ \vert f(a+b) \vert \, + \, f^+(a-b) \, + \, v }{2} \right ) \, \sim \, \left ( \frac{ \vert f(a+b) \vert \, + \, f^-(a-b) \, + \, v }{2} \right ) [/tex] ,

waarin het positieve reële getal v de [i]verheffingsindex[/i] is. Dit getal zorgt ervoor dat de beide componenten van de functiewaarde zeker positief zijn (wat voor verschilgetallen nodig is).

We vinden dan:

[tex] rw(f_v(a \sim b)) \, = \, rw \left ( \left ( \frac{ \vert f(a+b) \vert \, + \, f^+(a-b) \, + \, v }{2} \right ) \, \sim \, \left ( \frac{ \vert f(a+b) \vert \, + \, f^-(a-b) \, + \, v }{2} \right ) \right ) [/tex]

[tex] rw(f_v(a \sim b)) \, = \, \left ( \frac{ \vert f(a+b) \vert \, + \, f^+(a-b) \, + \, v }{2} \right ) \, - \, \left ( \frac{ \vert f(a+b) \vert \, + \, f^-(a-b) \, + \, v }{2} \right ) [/tex]

[tex] rw(f_v(a \sim b)) \, = \, \frac{ (\vert f(a+b) \vert \, + \, f^+(a-b) \, + \, v) \,\, - \,\, ( \vert f(a+b) \vert \, + \, f^-(a-b) \, + \, v ) }{2} \right ) [/tex]

[tex] rw(f_v(a \sim b)) \, = \, \frac{ f^+(a-b) \, - \, f^-(a-b) }{2} \right ) [/tex]

[tex] rw(f_v(a \sim b)) \, = \, f(a-b) [/tex]

[tex] rw(f_v(a \sim b)) \, = \, f(rw(a \sim b)) [/tex] .

[tex] aw(f_v(a \sim b)) \, = \, aw \left ( \left ( \frac{ \vert f(a+b) \vert \, + \, f^+(a-b) \, + \, v }{2} \right ) \, \sim \, \left ( \frac{ \vert f(a+b) \vert \, + \, f^-(a-b) \, + \, v }{2} \right ) \right ) [/tex]

[tex] aw(f_v(a \sim b)) \, = \, \left ( \frac{ \vert f(a+b) \vert \, + \, f^+(a-b) \, + \, v }{2} \right ) \, + \, \left ( \frac{ \vert f(a+b) \vert \, + \, f^-(a-b) \, + \, v }{2} \right ) [/tex]

[tex] aw(f_v(a \sim b)) \, = \, \frac{ (\vert f(a+b) \vert \, + \, f^+(a-b) \, + \, v) \,\, + \,\, ( \vert f(a+b) \vert \, + \, f^-(a-b) \, + \, v ) }{2} \right ) [/tex]

[tex] aw(f_v(a \sim b)) \, = \, \frac{ (2 \, . \vert f(a+b) \vert \, + \, f^+(a-b) \, + \, f^-(a-b) \, + \, 2.v) }{2} \right ) [/tex]

[tex] aw(f_v(a \sim b)) \, = \, \vert f(a+b) \vert \, + \, \frac{ f^+(a-b) \, + \, f^-(a-b)}{2} \, + \, v [/tex]

[tex] aw(f_v(a \sim b)) \, = \, \vert f(a+b) \vert \, + \, \vert f(a-b) \vert \, + \, v [/tex]

[tex] aw(f_v(a \sim b)) \, = \, \vert f(aw(a \sim b)) \vert \, + \, \vert f(rw(a \sim b)) \vert \, + \, v [/tex] .

Grote vraag is nu of dit mooie generalisaties van (bekende) reële functies tot verschilfuncties oplevert. In het bijzonder ben ik benieuwd of de wijze waarop de reële en de antireële waarde van argumenten naar die van functiewaarden transformeren, tot uitdagende nieuwe vragen en grafische voorstellingen leidt.

@ Han van Bakel

Het is waar dat er met de uitwerking van een wiskundig idee vaak iets van de oorspronkelijke charme verloren gaat. We proberen dat verlies in de wiskunde minimaal te houden door te zoeken naar de uitwerking met maximale elegantie. In het begin is mij dat - naar mijn idee - aardig gelukt. Maar bij de introductie van het pseudoquotiënt en daarna bij de uitwerking van reeksen is de oorspronkelijke elegantie enigszins zoek geraakt...

Hoe je wiskunde zou moeten bedrijven wanneer je jezelf [i]geheel[/i] buiten de bestaande traditie plaatst, zie ik niet.

Dag Bartjes,

Ik vind het mooi te lezen hoe stil het even werd op 23 juni na half negen...

Ik vind het een geweldig idee om een getal (of dat nu een nul is of niet)

een soort geheugen mee te geven. Dit zou wel eens een enorme doorbraak

in dat te kale krampachtige wiskunde kunnen geven !

Nadeel vind ik wel dat je vervolgens helemaal wild liet maken door in

wiskunde termen te gaan rekenen. Ik kan me niet onttrekken aan de indruk

dat je daardoor af bent gedreven van de essentie die je aanroerde;

de ene nul is de andere nul niet... Maar anderen deden ook enorm hun best

om je naar die reken-richting heen te ZUIGEN... zucht.

Hoe kan men nu een nieuwe theorie ontwikkelen als je 'm moet bewijzen

op basis van bestaande reken-schrijf-noteer-structuren; het alsof je in

het chinees een nieuw symbool tekent en iedereen wilt dat je het uitlegt

met andere BESTAANDE symbolen. Dan krijg je gezeik; Het symbool voor

"boot" in he chinees is gewoon ooit een keer getekend, het komt dan

mallotig over als anderen je gaan dwingen om het bijvoorbeeld uit

te leggen als bestaand uit de symbool "hout" "drijven" "stok" "doek"

"stuur". Want voor je het weet ben je al omschrijvend je aan het verliezen

in nog veel meer kenmerken die voor het begrip "boot" staan... Zo zit

dat met jouw begrip "nul" ook:

Ik vind het essentieel dat je aanraakte dat een getal een geheugen heeft

(jij noemde het rugzakje). In de sociologie komen we dit fenomeen overigens

dagelijks tegen: Je krijgt van een docent een acht voor jouw werk. Maar

wat blijkt; jouw GEHEUGEN (zak ergens) zegt dat die acht niet echt een

acht is maar een tien, want zelfs de besten-ooit scoorden niet hoger dan

een acht. Begrijp je mij ?; je raakt iets fundamenteels interessants

in de wetenschap aan. Wiskundigen willen dat graag vermalen tot een

set bestaande symboliek en formules. Niet doen, niet doen....

maar hoe dan wel...?... dat weet ik niet. Ik ga slapen.

Han

We bekijken nu de verschilversie van een andere bekende reeks:

[u]1[/u]//(([u]2[/u])[sup]1[/sup]) + [u]1[/u]//(([u]2[/u])[sup]2[/sup]) + [u]1[/u]//(([u]2[/u])[sup]3[/sup]) + ... + [u]1[/u]//(([u]2[/u])[sup]n[/sup]) + ...

Of in de officiële notatie:

[tex] \sum_{i=1}^{\infty} \, ( \, \underline{1} \,\, // \, (\underline{2})^i \, ) \, [/tex] .

We vinden:

[tex] rw(\underline{1}) \, = \, 1 [/tex] .

[tex] aw(\underline{1}) \, = \, aw(2 \sim 1) [/tex]

[tex] aw(\underline{1}) \, = \, 2 + 1 [/tex]

[tex] aw(\underline{1}) \, = \, 3 [/tex] .

[tex] rw((\underline{2})^i) \, = \, (rw(\underline{2}))^i [/tex]

[tex] rw((\underline{2})^i) \, = \, 2^i [/tex] .

[tex] aw((\underline{2})^i) \, = \, (aw(\underline{2}))^i [/tex]

[tex] aw((\underline{2})^i) \, = \, (aw(4 \sim 2))^i [/tex]

[tex] aw((\underline{2})^i) \, = \, (4 + 2)^i [/tex]

[tex] aw((\underline{2})^i) \, = \, 6^i [/tex] .

Dus is de grenswaarde gw([u]1[/u] , ([u]2[/u])[sup]i[/sup]) het kleinste positieve natuurlijke getal n dat voldoet aan de ongelijkheid:

[tex] \frac{aw(\underline{1})}{aw((\underline{2})^i)} \,\, . \,\, 3^n \,\, > \, \, \left \vert \frac{rw(\underline{1})}{rw((\underline{2})^i)} \right \vert [/tex] .

Aan de eis rw(([u]2[/u])[sup]i[/sup]) ;) 0 is duidelijk voldaan. Invullen van de gevonden waarden geeft:

[tex] \frac{3}{6^i} \,\, . \,\, 3^n \,\, > \,\, \left \vert \frac{1}{2^i} \right \vert [/tex]

[tex] \frac{3}{2^i \, . \, 3^i} \,\, . \,\, 3^n \,\, > \,\, \frac{1}{2^i} [/tex]

[tex] \frac{3^1}{3^i} \,\, . \,\, 3^n \,\, > \,\, 1 [/tex]

[tex] 3^{1 - i + n} \,\, > \,\, 1 [/tex]

[tex] 1 - i + n \,\, > \,\, 0 [/tex]

[tex] n \,\, > \,\, i - 1 [/tex]

[tex] n \,\, \geq \,\, i [/tex] .

Voor alle positieve natuurlijke getallen i is het kleinste positieve natuurlijke getal n dat voldoet dus n=i. Zodat:

gw([u]1[/u] , ([u]2[/u])[sup]i[/sup]) = i.

Daarmee (en omdat rw(([u]2[/u])[sup]i[/sup]) ;) 0) komen we voor het simpele pseudoquotiënt [u]1[/u]//(([u]2[/u])[sup]i[/sup]) tot:

[tex] \underline{1} \,\, // \,\, (\underline{2})^i \,\, = \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{aw(\underline{1})}{aw((\underline{2})^i )} \,\, . \,\, 3^{gw(\underline{1} , (\underline{2})^i )} \, + \, \frac{rw(\underline{1})}{rw((\underline{2})^i )} \right ) \right ) \sim \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{aw(\underline{1})}{aw((\underline{2})^i )} \,\, . \,\, 3^{gw(\underline{1} , (\underline{2})^i )} \, - \, \frac{rw(\underline{1})}{rw((\underline{2})^i )} \right ) \right) [/tex]

[tex] \underline{1} \,\, // \,\, (\underline{2})^i \,\, = \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{3}{6^i} \,\, . \,\, 3^i \, + \, \frac{1}{2^i} \right ) \right ) \sim \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{3}{6^i} \,\, . \,\, 3^i \, - \, \frac{1}{2^i} \right ) \right) [/tex]

[tex] \underline{1} \,\, // \,\, (\underline{2})^i \,\, = \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{3}{2^i \, . \, 3^i} \,\, . \,\, 3^i \, + \, \frac{1}{2^i} \right ) \right ) \sim \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{3}{2^i \, . \, 3^i} \,\, . \,\, 3^i \, - \, \frac{1}{2^i} \right ) \right) [/tex]

[tex] \underline{1} \,\, // \,\, (\underline{2})^i \,\, = \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{3}{2^i} \, + \, \frac{1}{2^i} \right ) \right ) \sim \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{3}{2^i} \, - \, \frac{1}{2^i} \right ) \right) [/tex]

[tex] \underline{1} \,\, // \,\, (\underline{2})^i \,\, = \left ( \frac{1}{2} \, . \, \frac{3 \, + \, 1}{2^i} \right ) \sim \left ( \frac{1}{2} \, . \, \frac{3 \, - \, 1}{2^i} \right) [/tex]

[tex] \underline{1} \,\, // \,\, (\underline{2})^i \,\, = \left ( \frac{1}{2} \, . \, \frac{4}{2^i} \right ) \sim \left ( \frac{1}{2} \, . \, \frac{2}{2^i} \right ) [/tex]

[tex] \underline{1} \,\, // \,\, (\underline{2})^i \,\, = \left ( 2 \, . \, \frac{1}{2^i} \right ) \sim \left ( \frac{1}{2^i} \right ) [/tex]

[tex] \underline{1} \,\, // \,\, (\underline{2})^i \,\, = \left ( 2 \, . \left ( \frac{1}{2} \right )^i \right ) \sim \left ( \left ( \frac{1}{2} \right )^i \right ) [/tex] .

Nu kunnen we de oneindige som (waarin onze bekende [i]reële[/i] meetkundige reeks opduikt) verder uitwerken:

[tex] \sum_{i=1}^{\infty} \, ( \, \underline{1} \, // ( \, (\underline{2})^i \, ) ) \,\, = \,\, \sum_{i=1}^{\infty} \, \left ( \left ( 2 \, . \, \left ( \frac{1}{2} \right )^i \right ) \sim \left ( \left ( \frac{1}{2} \right )^i \right ) \right ) [/tex]

[tex] \sum_{i=1}^{\infty} \, ( \, \underline{1} \, // ( \, (\underline{2})^i \, )) \,\, = \,\, \lim_{n \rightarrow \infty} \, \sum_{i=1}^n \, \left ( \left ( 2 \, . \left ( \frac{1}{2} \right )^i \right ) \sim \left ( \left ( \frac{1}{2} \right )^i \right ) \right ) [/tex]

[tex] \sum_{i=1}^{\infty} \, ( \, \underline{1} \, // ( \, (\underline{2})^i \, )) \,\, = \,\, \lim_{n \rightarrow \infty} \, \left ( \left ( \sum_{i=1}^n 2 \, . \left ( \frac{1}{2} \right )^i \right ) \sim \left ( \sum_{i=1}^n \left ( \frac{1}{2} \right )^i \right ) \right ) [/tex]

[tex] \sum_{i=1}^{\infty} \, ( \, \underline{1} \, // ( \, (\underline{2})^i \, )) \,\, = \,\, \lim_{n \rightarrow \infty} \, \left ( \left ( 2 \, . \sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{1}{2} \right )^i \, \right ) \sim \left ( \sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{1}{2} \right )^i \, \right ) \right ) [/tex]

[tex] \sum_{i=1}^{\infty} \, ( \, \underline{1} \, // ( \, (\underline{2})^i \, )) \,\, = \,\, \left ( \lim_{n \rightarrow \infty} \, \left \{ 2 \, . \sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{1}{2} \right )^i \,\right \} \right ) \sim \left ( \lim_{n \rightarrow \infty} \, \left \{ \sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{1}{2} \right )^i \, \right \} \right ) [/tex]

[tex] \sum_{i=1}^{\infty} \, ( \, \underline{1} \, // ( \, (\underline{2})^i \, )) \,\, = \,\, \left ( \, 2 \, . \sum_{i=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{2} \right )^i \, \right ) \sim \left ( \, \sum_{i=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{2} \right )^i \, \right ) [/tex]

[tex] \sum_{i=1}^{\infty} \, ( \, \underline{1} \, // ( \, (\underline{2})^i \, )) \,\, = \,\, \left ( 2 \, . \, 1 } \right ) \sim \left ( 1 } \right ) [/tex]

[tex] \sum_{i=1}^{\infty} \, ( \, \underline{1} \, // ( \, (\underline{2})^i \, )) \,\, = \,\, \underline{1} [/tex] .

Laten we eens beginnen met een eenvoudig geval te bekijken:

[u]0[/u] + [u]0[/u] + [u]0[/u] + ... + [u]0[/u] + ...

Of met een correcter notatie:

[tex] \sum_{i=1}^{\infty} \, \underline{0} [/tex] .

We vinden:

[tex] \sum_{i=1}^n \, \underline{0} \,\, = \, \sum_{i=1}^n \, ( 1 \sim 1 ) [/tex]

[tex] \sum_{i=1}^n \, \underline{0} \,\, = \, \left ( \sum_{i=1}^n 1 \right ) \sim \left ( \sum_{i=1}^n 1 \right ) [/tex] .

Maar:

[tex] \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n 1 \,\, = \, \lim_{n \rightarrow \infty} n [/tex]

[tex] \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n 1 \,\, = \, \infty [/tex] .

Zodat:

[tex] \sum_{i=1}^{\infty} \, \underline{0} [/tex]

[i]niet[/i] convergent is.

Opmerking: Ik ben mij ervan bewust dat het strikt genomen onzin is te spreken over de convergentie of divergentie van [i]oneindige[/i] reeksen, aangezien alleen de rijen van [i]partiële[/i] sommen convergent of divergent kunnen zijn. Maar omdat dergelijke subtiliteiten eerder verwarring stichten dan verhelderend werken, volg ik de gebruikelijke manier van doen waarbij wordt gesproken over convergente of divergente oneindige reeksen (en andere processen). Oneindige reeksen [i]als zodanig[/i] zijn echter formele objecten waar soms wel en soms niet een zinvolle waarde aan kan worden toegekend. Wij doen dat hier via de gebruikelijke manier van de limietovergang via de partiële sommen.

Zoals eerder bepaald noemen we voor verschilgetallen a[sub]i[/sub] ~ b[sub]i[/sub] met m een geheel getal de onderstaande oneindige reeks:

[tex] \sum_{i=m}^{\infty} ((a_i) \sim (b_i)) = \lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \, \sum_{i=m}^n ((a_i) \sim (b_i)) \right ) [/tex]

precies dan [i]convergent[/i] wanneer de rechter limiet bestaat én een verschilgetal (d.w.z een geordend tweetal van positieve reële getallen) oplevert.

In dit geval geldt:

[tex] \sum_{i=m}^{\infty} ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, \lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \, \sum_{i=m}^n ((a_i) \sim (b_i)) \right ) [/tex]

[tex] \sum_{i=m}^{\infty} ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, \lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \left ( \sum_{i=m}^n a_i \right ) \,\, \sim \,\, \left ( \sum_{i=m}^n b_i \right ) \right ) [/tex]

[tex] \sum_{i=m}^{\infty} ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, \left ( \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=m}^n a_i \right ) \,\, \sim \,\, \left ( \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=m}^n b_i \right ) [/tex]

[tex] \sum_{i=m}^{\infty} ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, \left ( \sum_{i=m}^{\infty} a_i \right ) \,\, \sim \,\, \left ( \sum_{i=m}^{\infty} b_i \right ) [/tex] .

Wanneer de (a[sub]i[/sub])~(b[sub]i[/sub]) verschilgetallen zijn en m een geheel getal geldt:

[tex] \sum_{i=m}^{n} \, ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, \left ( \sum_{i=m}^n a_i \right ) \,\, \sim \,\, \left ( \sum_{i=m}^n b_i \right ) [/tex] .

Bewijs:

Laat de (a[sub]i[/sub])~(b[sub]i[/sub]) verschilgetallen zijn en m een geheel getal. Voor het gemak schrijven we dan:

[tex] A(n) = \left ( \sum_{i=m}^n a_i \right ) \,\, \sim \,\, \left ( \sum_{i=m}^n b_i \right ) [/tex] .

Voor de verschilgetallen (a[sub]i[/sub])~(b[sub]i[/sub]) en gehele getallen m moeten we dan bewijzen dat:

[tex] \sum_{i=m}^{n} \, ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, A(n) [/tex] .

In het geval n=m vinden we:

[tex] \sum_{i=m}^{m} \, ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, ( a_m ) \sim ( b_m ) [/tex] .

[tex] A(m) = \left ( \sum_{i=m}^m a_i \right ) \,\, \sim \,\, \left ( \sum_{i=m}^m b_i \right ) [/tex]

[tex] A(m) = (a_m ) \, \sim \, ( b_m ) [/tex] .

[tex] \sum_{i=m}^{m} \, ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, A(m) [/tex] .

Dus voor n=m gaat de te bewijzen stelling alvast op.

Vervolgens veronderstellen we dat de te bewijzen stelling voor een n opgaat. Waaruit volgt:

[tex] \sum_{i=m}^{n} \, ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, A(n) [/tex]

[tex] \sum_{i=m}^{n} \, ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, \left ( \sum_{i=m}^n a_i \right ) \,\, \sim \,\, \left ( \sum_{i=m}^n b_i \right ) [/tex]

[tex] \left ( \, \sum_{i=m}^{n} \, ((a_i) \sim (b_i)) \right ) \,\, + \, ((a_{n+1}) \sim (b_{n+1})) = \, \left ( \left ( \sum_{i=m}^n a_i \right ) \,\, \sim \,\, \left ( \sum_{i=m}^n b_i \right ) \right ) \,\, + \,\, ((a_{n+1}) \sim (b_{n+1})) [/tex]

[tex] \sum_{i=m}^{n+1} \, ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, \left ( \left ( \sum_{i=m}^n a_i \right ) \, + \, a_{n+1} \right ) \,\, \sim \,\, \left ( \left ( \sum_{i=m}^n b_i \right ) \, + \, b_{n+1} \right ) [/tex]

[tex] \sum_{i=m}^{n+1} \, ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, \left ( \sum_{i=m}^{n+1} a_i \right ) \,\, \sim \,\, \left ( \sum_{i=m}^{n+1} b_i \right ) [/tex]

[tex] \sum_{i=m}^{n+1} \, ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, A(n+1) [/tex] .

Waarmee ons bewijs door volledige inductie geslaagd is.

Nog even om de puntjes op de i te zetten:

Voor verschilgetallen z[sub]i[/sub] met m een geheel getal noemen we de onderstaande oneindige reeksen en oneindige producten:

[tex] \sum_{i=m}^{\infty} z_i = \lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \, \sum_{i=m}^n z_i \right ) [/tex] .

[tex] \prod_{i=m}^{\infty} z_i = \lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \, \prod_{i=m}^n z_i \right ) [/tex] .

precies dan [i]convergent[/i] wanneer de rechter limiet bestaat én een verschilgetal (d.w.z een geordend tweetal van positieve reële getallen) oplevert. In alle andere gevallen noemen we deze reeksen en producten [i]divergent[/i]. Alleen aan convergente oneindige reeksen en aan convergente oneindige producten kennen we het gevonden verschilgetal als uitkomst toe. Aan divergente oneindige reeksen en aan divergente oneindige producten kennen we echter géén verschilgetal als uitkomst toe.