door eendavid » wo 09 jan 2013, 17:12
@ jkien: Dat klopt. De baan die een deeltje aflegt is deze van een geodeet in de ruimtetijd. Het gaat hem dus niet om de kortste afstand tussen twee posities, maar om de
maximale 'afstand' tussen twee gebeurtenissen. Met deze afstand wordt dan de
eigentijd bedoeld, d.w.z. de tijd zoals gemeten door een klok op deze baan. Dat veroorzaakt soms verwarring.
Bijvoorbeeld, de aarde volgt een cirkel rond de zon, en komt volgend jaar dus op 'dezelfde' positie als dit jaar. Het is in woorden moeilijk te begrijpen dat dit een geodeet is.
- Je zou kunnen denken dat het kortste pad van onze positie nu (gebeurtenis A), naar dezelfde positie volgend jaar (gebeurtenis B), gewoon is om te blijven stilstaan. Dat is niet correct. Of toch niet in de ruimtetijd-geodeet betekenis die we met "het kortste pad" proberen te beschrijven.
- Zoals je weet bestaat er zoiets als gravitationele tijdsdilatatie: hoe dichter je bij de zon bent, hoe minder eigentijd er zal verlopen (een stilstaande klok dicht bij aarde tikt trager dan een stilstaande klok ver van de aarde). Dus je kan proberen je eigentijd te maximaliseren door van de zon weg te bewegen. Maar zoiets komt aan een prijskaartje: de snelheid die je ontwikkelt om je te verplaatsen zorgt voor een daling van je eigentijd. Dus er is een compromis: het pad met de maximale eigentijd gaat radiaal weg van de zon, en versnelt terug richting de zon om een jaar later op deze positie toe te komen. Dit is nog steeds niet het circulaire pad dat we zoeken, maar het is wel degelijk een geodeet (en ook klassieke een baan van een deeltje in het gravitationeel veld van de zon). En het is wel degelijke het pad met de maximale eigentijd. Bizar? In tegenspraak met de bewering dat de aarde een geodeet volgt?
- Eigenlijk niet. Er bestaan in een gekromde ruimte meerdere geodeten tussen twee gebeurtenissen. Je kent dit fenomeen al van lichtstraal. Een lichtstraal volgt steeds het kortste pad tussen twee punten (een ruimte-geodeet). Maar wanneer er een spiegel is, zijn er twee paden die een lichtstraal tussen 2 punten kan nemen: (1) het rechte pad, en (2) een gereflecteerd pad. De reden is dat een geodeet een lokaal minimum (in feite extremem) zoekt in plaats van een globaal, en het antwoord is dus niet steeds uniek. Om het exacte pad te weten dat een deeltje of een lichtstraal volgt moet je het probleem stellen als een beginvoorwaardenprobleem (de baan zoeken, gegeven de initiële positie en snelheid). In dat geval heb je een uniek antwoord.
- Wanneer je dit doet, en de wiskunde volgt, dan zal je vinden dat de ellipsen die we kennen van de klassieke mechanica, in zeer goede benadering geodeten zijn. Waarom dezen een lokaal extremum vormen is moeilijk intuïtief in te zien, zoals je dat bij het globale maximum wel kan. Maar anderzijds, dat ellipsen de oplossingen zijn van het tweelichamenprobleem is nu ook niet iets dat ik aan de familietafel uitgelegd krijg.
@ jkien: Dat klopt. De baan die een deeltje aflegt is deze van een geodeet in de ruimtetijd. Het gaat hem dus niet om de kortste afstand tussen twee posities, maar om de [b]maximale 'afstand' tussen twee gebeurtenissen.[/b] Met deze afstand wordt dan de [b]eigentijd[/b] bedoeld, d.w.z. de tijd zoals gemeten door een klok op deze baan. Dat veroorzaakt soms verwarring.
Bijvoorbeeld, de aarde volgt een cirkel rond de zon, en komt volgend jaar dus op 'dezelfde' positie als dit jaar. Het is in woorden moeilijk te begrijpen dat dit een geodeet is.[list]
[*]J[b]e zou kunnen denken dat het kortste pad van onze positie nu (gebeurtenis A), naar dezelfde positie volgend jaar (gebeurtenis B), gewoon is om te blijven stilstaan.[/b] Dat is niet correct. Of toch niet in de ruimtetijd-geodeet betekenis die we met "het kortste pad" proberen te beschrijven.
[*]Zoals je weet bestaat er zoiets als gravitationele tijdsdilatatie: hoe dichter je bij de zon bent, hoe minder eigentijd er zal verlopen (een stilstaande klok dicht bij aarde tikt trager dan een stilstaande klok ver van de aarde). Dus je kan proberen je eigentijd te maximaliseren door van de zon weg te bewegen. Maar zoiets komt aan een prijskaartje: de snelheid die je ontwikkelt om je te verplaatsen zorgt voor een daling van je eigentijd. Dus er is een compromis: [b]het pad met de maximale eigentijd gaat radiaal weg van de zon, en versnelt terug richting de zon om een jaar later op deze positie toe te komen.[/b] Dit is nog steeds niet het circulaire pad dat we zoeken, maar het is wel degelijk een geodeet (en ook klassieke een baan van een deeltje in het gravitationeel veld van de zon). En het is wel degelijke het pad met de maximale eigentijd. Bizar? In tegenspraak met de bewering dat de aarde een geodeet volgt?
[*]Eigenlijk niet. [b]Er bestaan in een gekromde ruimte meerdere geodeten tussen twee gebeurtenissen.[/b] Je kent dit fenomeen al van lichtstraal. Een lichtstraal volgt steeds het kortste pad tussen twee punten (een ruimte-geodeet). Maar wanneer er een spiegel is, zijn er twee paden die een lichtstraal tussen 2 punten kan nemen: (1) het rechte pad, en (2) een gereflecteerd pad. De reden is dat een geodeet een lokaal minimum (in feite extremem) zoekt in plaats van een globaal, en het antwoord is dus niet steeds uniek. Om het exacte pad te weten dat een deeltje of een lichtstraal volgt moet je het probleem stellen als een beginvoorwaardenprobleem (de baan zoeken, gegeven de initiële positie en snelheid). In dat geval heb je een uniek antwoord.
[*]Wanneer je dit doet, en [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics]de wiskunde volgt[/url], dan zal je vinden dat de [b]ellipsen[/b] die we kennen van de klassieke mechanica, [b]in zeer goede benadering geodeten[/b] zijn. Waarom dezen een lokaal extremum vormen is moeilijk intuïtief in te zien, zoals je dat bij het globale maximum wel kan. Maar anderzijds, dat ellipsen de oplossingen zijn van het tweelichamenprobleem is nu ook niet iets dat ik aan de familietafel uitgelegd krijg.
[/list]
