eric kortenhoef schreef:Ik begrijp de meetkundige reeks niet echt goed. Ben voor het eerst
met de meetkundige reeks in aanraking gekomen tijdens mijn studie
bedrijfseconomie. De meetkundige reeks werd toen gebruikt voor
het uitrekenen van de eindwaarde als bv over 10 jaar ieder jaar een
bedrag van 1000 word ontvangen en waarbij over de laatste 9 jaar
bovenop deze bedragen ook nog is een rente wordt ontvangen van 8%.
Door de manier van toetsing op het tentamen is het
nooit echt nodig geweest om deze reeks echt te begrijpen.
Kan iemand mij misschien helpen met een formule opstellen voor het
bovengenoemde voorbeeld en ook bewijzen waarom die formule geldt?
gr Eric
Het is eigenlijk heel simpel.
De meetkundige reeks heeft termen die geschreven kunnen worden als:
a, ar, ar^2, ar^3, .. ar^n
De som van de eerste n termen is:
S(n)=a+ar+ar^2+ar^3+..+ar^n
Vermenigvuldig je nu linker en rechterlid met r dan krijg je:
rS(n)=ar+ar^2+ar^3+ .. + ar^(n+1)
Trek de oorspronkelijke reeks hiervan af en je krijgt (omdat het grootste deel wegvalt):
rS(n)-S(n)=ar^(n+1)-a
Ofwel
S(n)=a(r^(n+1)-1)/(r-1)
Als je bij |r|<1 de limiet neemt voor n naar oneindig dan kom je op de formule voor Stefan uit, maar ik neem aan dat je in de economie juist een eindig aantal termen gebruikt.
[quote='eric kortenhoef']Ik begrijp de meetkundige reeks niet echt goed. Ben voor het eerst
met de meetkundige reeks in aanraking gekomen tijdens mijn studie
bedrijfseconomie. De meetkundige reeks werd toen gebruikt voor
het uitrekenen van de eindwaarde als bv over 10 jaar ieder jaar een
bedrag van 1000 word ontvangen en waarbij over de laatste 9 jaar
bovenop deze bedragen ook nog is een rente wordt ontvangen van 8%.
Door de manier van toetsing op het tentamen is het
nooit echt nodig geweest om deze reeks echt te begrijpen.
Kan iemand mij misschien helpen met een formule opstellen voor het
bovengenoemde voorbeeld en ook bewijzen waarom die formule geldt?
gr Eric[/quote]
Het is eigenlijk heel simpel.
De meetkundige reeks heeft termen die geschreven kunnen worden als:
a, ar, ar^2, ar^3, .. ar^n
De som van de eerste n termen is:
S(n)=a+ar+ar^2+ar^3+..+ar^n
Vermenigvuldig je nu linker en rechterlid met r dan krijg je:
rS(n)=ar+ar^2+ar^3+ .. + ar^(n+1)
Trek de oorspronkelijke reeks hiervan af en je krijgt (omdat het grootste deel wegvalt):
rS(n)-S(n)=ar^(n+1)-a
Ofwel
S(n)=a(r^(n+1)-1)/(r-1)
Als je bij |r|<1 de limiet neemt voor n naar oneindig dan kom je op de formule voor Stefan uit, maar ik neem aan dat je in de economie juist een eindig aantal termen gebruikt.
