de abc-formule

[Shadow]

Hai,

in my maths course staat het volgende:

Quadratic formula:

ax^2 + bx + c = 0 <=> a (x - b/2a)^2 + (c - b^2/4a) = 0 x = (-b +- sqrt(b^2 - 4ac))/2a for a /= 0

Die laatste formule is een beetje onoverzichtelijk (waar is de optie voor het invoeren van wiskundige symbolen gebleven?), maar dat is gewoon de abc-formule.

Kan iemand my een HINT geven hoe ze van de eerste formule tot de tweede zijn gekomen? (Liever geen complete uitwerking dus :d)

[Bartjes]

Reken het kwadraat in die tweede formule eens uit...
 
Voor mooie formules kun je overigens LaTeX gebruiken.

[Flisk]

Het gaat op verschillende manieren. Je kan het grafisch doen, maar dat duurt net iets langer. Het makkelijkste is door de techniek kwadraatspiltsen, zoek je dat op op wiki, zie je zelf de afleiding van de abc formule staan (niet opzoeken dus als je het zelf wilt vinden).
 
Ik zal anders een voorbeeldje geven van kwadraatspiltsen, stel je hebt volgende gelijkheid:

\(x^2+4x+2=0 \iff x^2+4x=-2\)

Je wilt links een volkomen kwadraat krijgen, dus je telt bij beide leden 4 op:

\(x^2+4x+4=-2+4 \iff (x+2)^2=2 \iff x+2=\pm\sqrt{2} \iff x=-2\pm\sqrt{2}\)

 
Pas deze techniek toe met onbekenden a,b en c en je vind de nulpunten x1 en x2. Dan doe je gewoon verg=a(x-x2)(x-x1) (weet je waarom dat laatste mag?)

[Safe]

\(ax^2+bx+c=0\Leftrightarrow a(x+\frac b {2a})^2+c-\frac{b^2}{4a^2}=0\)

 
Waarom bx een storende term in deze verg ... , wat krijg je als b=0? Kan je de verg dan direct oplossen?

[Shadow]

Haha wow, oke, ik heb die afleiding een paar jaar geleden gezien en vond hem toen echt duizelingwekkend ingewikkeld, maar hij wordt echt übersimpel als je het idee achter kwadraatsplitsen snapt xD Megathanks, dit maakt me blij !

verg = a (x-x2)(x-x1)

Ik weet het niet helemaal precies, maar het heeft er mee te maken dat x1 de x-waarde is van de ene kant van de parabool, en x2 van de andere kant van de parabool. Maar ik zie niet in waarom die vergelijking geldt voor een willekeurige x (dus niet alleen voor de x van de extreme waarde).

@Safe: Naar mijn weten is bx storend, omdat je niet direct het kwadraat weg kunt werken.

[Flisk]

Je ontbindt de vergelijking in factoren. Je krijgt twee factoren omdat het een vergelijking van graad 2 is. Als je de nulpunten (x1 of x2) invult, moet het geheel gelijk aan nul zijn, daarom staat er (x-x1) en (x-x2) als factoren. Als je dit terug uitwerkt, heb je als kwadratische term x^2, maar je wilt ax^2, dus je vermenigvuldigt het geheel nog eens met a.

[Shadow]

Ow, op die fiets xD ik kan het niet echt "bewijzen", maar ik snap hem. Mijn beste uitleg is: het geheel is gelijk aan nul, dus als je twee factoren hebt zul, zul je de x-waarden van de nulpunten nodig hebben. Omdat het een optel/aftreksom is, moet het teken van de x-waarde van het nulpunt binnen de haakjes omgekeerd worden.

Waarom doe je dat eigenlijk? (ax^2=0) Wat voegt het toe? In mijn ogen verkrijg je alles wat er maar te halen valt met de abc-formule.

[mathfreak]

Er zijn een aantal manieren om naar de vergelijking ax²+bx+c = 0 te kijken. Via kwadraatafsplitsing kun je de vergelijking omschrijven naar

\(a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}=0\)

, waaruit je direct de oplossingen volgens de abc-formule kunt vinden. Indien x = r en x = s oplossingen zijn van ax²+bx+c = 0, dan moet gelden dat ax²+bx+c = a(x-r)(x-s) = a(x²-(r+s)x+r∙s), waaruit volgt dat

\(r+s=-\frac{b}{a}\)

en

\(r\cdot s=\frac{c}{a}\)

.

[Safe]

@Safe: Naar mijn weten is bx storend, omdat je niet direct het kwadraat weg kunt werken.

 
Dat is het, als b niet 0 is heb je de term bx die je moet wegwerken en dat kan via kwadraat afsplitsen ...
Het is nog niet zo lang geleden dat een 3^e-graads verg niet opgelost kon worden via een eenvoudige herschrijving. Nu kan zo'n verg wel worden opgelost (maar dat hoort niet tot jouw programma en het is niet eenvoudig!).

[Shadow]

via een eenvoudige herschrijving

het is niet eenvoudig!).

Mhm..

Ik kijk ernaar uit :p

Bedankt voor alle hulp!

[Safe]

Wat haal je nu bij elkaar en uit elkaar ...

[Shadow]

Ik haalde herschrijven en oplossen door de war; ik dacht even dat dat enigszins wel op hetzelfde neerkwam. Excuses!