eigenwaarde λ

[Piet11123]

Zij A een (m*m) matrix. Dan is λ een eigenwaarde van A als en slechts als det(A-λ*1Im) = 0
 
Bewijs:
                
               λ is een eigenwaarde van A
                 
                     <=> er is minstens één (x1,...xm) element van IRm met ((x1,...,xm) =/= (0,...,0) zo dat
                                    
                                                       (x1)           (0)  
                               (A-λ*1Im) *       (....)     =    (..)
                                                       (xm)           (0)
 
                    <=> (A-λ*1Im)  is niet inverteerbaar
 
                    <=>det(A-λ*1Im) = 0
 
Waarom mag men bij de tweede equivalentie besluiten dat (A-λ*1Im) niet inverteerbaar is?
 
Alvast bedankt voor de hulp.

[EvilBro]

Stel B=(A-λ*1Im) en dat B inverteerbaar is. Vermenigvuldig beide kanten met de inverse van B.

[Piet11123]

     (x1)       (0)                                       (x1)                  (0)                       (x1)        (0)
B  (....)  =   (..)             <=>        B^-1 B  (....)   =   B^-1   (..)            <=>     (....)  =   (...) 
     (xm)      (0)                                       (xm)                 (0)                       (xm)        (0)
 
En omdat de eigenvector niet gelijk aan de nulvector is, mag je besluiten dat B niet inverteerbaar is.
 
Denk dat dit wel klopt.
 
Dankje

[EvilBro]

klopt