(1/2)!=pi(exp1/2)/2?

[descheleschilder]

Ik heb het geprobeerd op mijn rekenmachine, maar kreeg syntax error te zien. Toch schijnt bovenstaande formule te gelden. Van alle rationele getallen bestaat de faculteit. Maar wat wordt er bijvoorbeeld bedoeld met de 1/2! die in de formule boven staat?

[dirkwb]

Zie: 

[descheleschilder]

Dat is precies waar ik het vandaan heb, maar toch begrijp ik niet helemaal wat nu de faculteit van een breuk is. Op de rekenmachine van de man in de video krijg je een antwoord te zien als je de faculteit van 1/2 neemt. Op de mijne, toch een vrij geavanceerd ding niet. Dus nogmaals mijn vraag: hoe is de faculteit van een breuk gedefinieerd, zonder de punten te verbinden en de Γ -functie er bij te halen. Of is dat niet mogelijk?
P.S.
Ik ben al lange tijd niet meer op dit forum geweest. Zou jij mij kunnen uitleggen hoe je zo´n video plaatst in een bericht? Bij voorbaat dank!

[Professor Puntje]

Heb je iets aan dit topic?
 
http://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/189749-een-formule-over-faculteit-niet-vanuit-de-gammafunctie/?hl=faculteit

[Flisk]

Een mogelijke uitbreiding van de faculteitsfunctie van natuurlijke naar reële getallen is de gamma functie. Die is gedefinieerd als

\(\Gamma (x)=\int^{+\infty}_0t^{x-1}e^{-t}\text{d}t\)

Je kan makkelijk aantonen dat voor alle natuurlijke getallen geldt dat

\(\Gamma (n+1)=n!\)

Voor de faculteit van 1/2 moet je dan volgende integraal uitrekenen:

\(\Gamma (\frac{1}{2}+1)=\int^{+\infty}_0t^{\frac{1}{2}}e^{-t}\text{d}t\)

Wat gelijk zal zijn aan

\(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)

[descheleschilder]

Duidelijker kan het niet Flisk. Bedankt. Dit was ook in het filmpje te zien, maar ik vroeg mij af wat erbij voor te stellen. Neem bijvoorbeeld (291/13)! Dan is dat niet (219/13)x((219/13)-1))x((219/13-2))x...Het is dan ook beter je er niets bij voor te stellen en 219/13+1 in de Γ-functie in te vullen.

[Flisk]

Het is dan ook beter je er niets bij voor te stellen en 219/13+1 in de Γ-functie in te vullen.

Je kan natuurlijk gewoon invullen maar als je echt geïnteresseerd bent kan je die functie ook wat meer onderzoeken. Probeer bijvoorbeeld eens te bewijzen dat

\(\Gamma (n+1)=n\Gamma(n)\)

EDIT:

En dan zie je ook dat

\(\Gamma (291/13+1)=(291/13)(278/13)(265/13)...(18/13)(5/13)\Gamma (5/13)\)

Wat toch al heel wat op de faculteit trekt.

[descheleschilder]

Wauw, dat is precies wat ik bedoelde! Waar heb jij géén verstand van?