Loopt de wiskunde tegen haar grenzen aan?

[Professor Puntje]

Een mensenleven is eindig, en hetzelfde geldt voor de de hoeveelheid studiemateriaal die een mens kan verwerken. Daaruit volgt - lijkt mij - dat de wiskunde op zeker moment op grenzen stoot die door de eindigheid van een mensenleven zijn bepaald. Theorieën kunnen ook te uitgebreid en gecompliceerd worden. Is dat wat we nu al zo nu en dan zien gebeuren? Bijvoorbeeld hier:
 
http://www.nature.com/news/biggest-mystery-in-mathematics-in-limbo-after-cryptic-meeting-1.19035?WT.mc_id=FBK_NatureNews

[descheleschilder]

Ik denk dat de grenzen zich constant verleggen, afhankelijk van onze constructies. Kijk bijvoorbeeld naar het grote gebied van de getallen theorie, dat op zich een klein deel uitmaakt van het enorme lichaam bestaande uit wiskundig materiaal. Kijk bijvoorbeeld eens naar de video over het getal 33. Men weet van dit getal niet of het te schrijven is als 33=a³+b³+c³, waarin a, b en c tot Z behoren. Zo is 30 te schrijven als 30=(2 220 422 932)³+(-2 218 888 517)³+(-283 059 965)³. Terwijl sommige getallen heel eenvoudig zo uit te drukken zijn en een getal dat ernaast ligt weer enorm moeilijk. En sommige getallen zijn weer uit te drukken in heel veel verschillende waarde voor a, b en c.
Zo is 1=(1+9m³)³+(9m⁴)³+(-9m⁴-3m)³, met m een geheel getal. Dus 1 kan met oneindig veel waarden voor a, b en c geschreven worden. Dat zegt al genoeg...

[Professor Puntje]

@ descheleschilder
 
Er zal voorlopig nog wel het een en ander te doen blijven, daar twijfel ik niet aan. Waar het mij om gaat zijn de (vermoedelijke) bewijzen van honderden bladzijden lang die zelfs de specialisten boven de pet lijken te gaan. Zo kan een al maar groeiende wachtrij ontstaan van (kennelijk te uitgebreide en/of ingewikkelde?) bewijzen met een onduidelijke status.

[descheleschilder]

Goed. Maar ik begrijp niet zo goed hoe dat met grenzen te maken heeft. Waar lígt die grens?

[Professor Puntje]

De grens is bereikt zodra er een almaar groeiende wachtrij ontstaat van door topwiskundigen geproduceerde kolossale (vermoedelijke) bewijzen waar de wiskundige gemeenschap niet meer aan toe komt om ze ook te controleren. Hoeveel tijd en moeite heeft men er voor over om het bewijs van een ander na te lopen (en zich de daarvoor benodigde nieuwe theorie eigen te maken)? Een week? Een jaar? Meerdere jaren? Een mensenleven? Langer dan een mensenleven gaat sowieso niet, maar vermoedelijk zal men het bijltje er al veel eerder bij neer gooien. Kortom: bewijzen kunnen ook te omvangrijk en ingewikkeld worden.

[dirkwb]

Het voorbeeld wat je gaf is geen goed voorbeeld van je vraag. Die meneer die het bewijs heeft geleverd is zeer teruggetrokken en doet geen moeite zijn papers duidelijk en netjes te maken. In plaats van duidelijkheid te leveren gaat hij stug door met onduidelijke papers te publiceren. Als hij netjes zijn werk doet dan kunnen anderen dat ook binnen een afzienbare tijd controleren en is er geen sprake van grenzen die bereikt worden.

[Professor Puntje]

@ dirkwb
 
Daar heb je een punt. Aan de andere kant is het ook niet zo dat er dus voor wel uitvoerig toegelichte bewijzen geen vuiltje aan de lucht zou zijn. De grens van wat voor de wiskundige gemeenschap in redelijkheid nog te behappen is ligt dan alleen wat verder weg. Waar die grens precies ligt weet ik ook niet. Vandaar dit topic.

[317070]

Daar heb je een punt. Aan de andere kant is het ook niet zo dat er dus voor wel uitvoerig toegelichte bewijzen geen vuiltje aan de lucht zou zijn. De grens van wat voor de wiskundige gemeenschap in redelijkheid nog te behappen is ligt dan alleen wat verder weg. Waar die grens precies ligt weet ik ook niet. Vandaar dit topic.

Ik denk dat het wel meevalt. Net zoals het moeilijker is een goed boek te schrijven dan te lezen, is het moeilijker een bewijs te bedenken dan te begrijpen. Er komt volgens mij dus nooit een punt dat bewijzen niet meer in een mensenleven te begrijpen zijn (want dan hadden ze er ook niet in geschreven kunnen worden).
 
Daar komt nog bij dat we ooit bewijzen in het zand tekenden, we ze nu verticaal opschrijven op blaadjes papier, maar dat de pedagogische multimedia wel zo zal vorderen dat ze steeds eenvoudiger te verwerken zullen zijn.

[Professor Puntje]

@ 317070

Je hebt gelijk dat het moeilijker is een bewijs met een bijbehorende theorie te vinden, dan om die vondst naderhand (eventueel in vereenvoudigde vorm) te begrijpen. Daar staat echter tegenover dat een topwiskundige die als een bezetene wellicht jaren aan één probleem werkt daarbij wordt gemotiveerd door de gedachte iets te doen dat nog nooit iemand voor hem gedaan heeft. Voor de wiskundigen die dat werk later napluizen ontbreekt die motivatie. Ik ben zelf maar een amateur, maar het verschil is voor mij heel goed invoelbaar. Zullen er, wanneer de bewijzen steeds langer en ingewikkelder worden, op den duur nog wel genoeg wiskundigen te vinden zijn die dat relatief ondankbare controlewerk op zich willen nemen?

[descheleschilder]

De tijd zal het leren, maar wat ik wel weet is dat er een fysische grens bestaat voor het aantal gepubliceerde bewijzen, die steeds ingewikkelder worden en waarbij soms supercomputers ter ondersteuning worden bereikt. Op een gegeven moment zal er niet genoeg geheugenruimte meer zijn om al die bewijzen te bewaren (het zij uit economische overwegingen, hetzij uit persoonlijke). :-k

[317070]

Zullen er, wanneer de bewijzen steeds langer en ingewikkelder worden, op den duur nog wel genoeg wiskundigen te vinden zijn die dat relatief ondankbare controlewerk op zich willen nemen?

Meestal zijn degene die het controleren zelf al eerder op zoek gegaan naar het bewijs, of zijn het mensen met een externe motivatie (lees: studenten die graag willen afstuderen).
Verder is het ook een kwestie van interessante dingen te onderzoeken. Of het interessant uit te schrijven en uit te leggen (wat die japanner dus niet deed). Een boek schrijven is een ding, lezers vinden een andere.
 
Ook is er het P vs NP probleem. Een bewijs controleren is in se relatief eenvoudig (in P dacht ik). Misschien zullen op een gegeven moment de bewijzen niet meer met de hand gecontroleerd worden, maar met een programma dat bewezen werd. Ze bedenken is dan nog altijd moeilijk, maar ze verifieren niet.
 
Allez, het is niet echt een echt probleem. Ofwel zie je wiskunde als een praktische wetenschap, en dan zijn de bewijzen niet altijd zo belangrijk. Ofwel zie je de wiskunde als een esthetische wetenschap, en dan zijn die honderden pagina's aan bewijzen niet wetenschappelijk, of mooi, en slaan de wiskundigen waarschijnlijk 'mooiere' richtingen uit in de wiskunde.

[Professor Puntje]

Allez, het is niet echt een echt probleem. Ofwel zie je wiskunde als een praktische wetenschap, en dan zijn de bewijzen niet altijd zo belangrijk. Ofwel zie je de wiskunde als een esthetische wetenschap, en dan zijn die honderden pagina's aan bewijzen niet wetenschappelijk, of mooi, en slaan de wiskundigen waarschijnlijk 'mooiere' richtingen uit in de wiskunde.

 
Dat laatste is inderdaad ook nog een optie!

[Professor Puntje]

Ziehier voor een mooi artikel over het vermoedelijke (?) bewijs van Shinichi Mochizuki en de pogingen van wiskundigen om het te controleren:
 
https://www.quantamagazine.org/20151221-hope-rekindled-for-abc-proof/