binomiaalcoefficient (basiswiskunde/Wikipedia)

[ABTTh]

In het boek 'basisboek wiskunde" lees ik op pagina 57 het volgende (verwijzend naar driehoek van Pascal):

Op de horizontale rij bij n=2 vind je 3 coëfficiënten terug 1 2 1

"In het algemeen vind je op de n-de rij n+1 coëfficiënten terug.

We nummeren ze van links naar rechts van 0 tot n

De k-de coëfficiënt op de n-de rij noteren we als n op k

n

k

Voorbeelden:

3

0 = 1

3

1 = 3

4

2 = 6

6

6 = 1

7

4 = 35"

Alles tussen de aanhalingstekens hierboven begrijp ik niet. Iemand die een woordje uitleg bij kan geven aub?

Ik heb ook Wikipedia geraadpleegd:

https://nl.m.wikipedia.org/wiki/Binomiaalcoëfficiënt

Het voorbeeld van de kleurcombinatie snap ik ook niet...

"Voor de eerste kleurkeuze zijn er 7 mogelijkheden, voor de tweede nog 6, en voor de derde nog 5."

Hier kom ik 15 kleurcombinaties uit voor de 1e kleur?

123

124

125

126

127

134

135

136

137

145

146

147

156

157

167

"In totaal dus 7 x 6 x 5 = 7!/4! mogelijkheden."

Logischerwijs snap ik bovenstaande citaat dus ook niet...

Alle hulp welkom!

[mathfreak]

Iets onder de jou aangehaalde tekst zie je hoe je de binomiaalcoëfficiënt n boven k met behulp van faculteiten kunt berekenen. Nog iets verder naar beneden zie je een aantal eigenschappen van binomiaalcoëfficiënten die je voor het berekenen van een binomiaalcoëfficiënt kunt gebruiken. Wikipedia definieert de binomiaalcoëfficiënt n boven k als het aantal mogelijke combinaties om uit een totaal van n elementen k elementen te kiezen. Het Basisboek Wiskunde definieert  de binomiaalcoëfficiënt n boven k als de coëfficiënt van a^k·b^n-k in de ontwikkeling van (a+b)ⁿ, wat voor de voorbeelden onder het kopje "Binomiaalcoëfficiënten en de driehoek van Pascal" eenvoudig na te gaan is.

[ABTTh]

Dank u wel.

Volgende video was voor mij een goede verduidelijking:

https://youtu.be/b-8RZC2kGLw

Wikipedia definieert de binomiaalcoëfficiënt n boven k als het aantal mogelijke combinaties om uit een totaal van n elementen k elementen te kiezen. Het Basisboek Wiskunde definieert  de binomiaalcoëfficiënt n boven k als de coëfficiënt van a^k·b^n-k in de ontwikkeling van (a+b)ⁿ, wat voor de voorbeelden onder het kopje "Binomiaalcoëfficiënten en de driehoek van Pascal" eenvoudig na te gaan is.

Beste,

Ik heb je een PM gestuurd ivm het voorneeld op Wikipedia.

[mathfreak]

Ik post hier even het desbetreffende stukje van Wikipedia:
"Hoe komt men tot de waarde van deze coëfficiënt? Voor de eerste kleurkeuze zijn er 7 mogelijkheden, voor de tweede nog 6, en voor de derde nog 5. In totaal dus 7·6·5 = 7!/4! mogelijkheden.
Maar daarbij is rekening gehouden met de volgorde van de kleuren: eerst kan rood en dan geel gekozen zijn, maar ook eerst geel en dan rood. Om van deze volgorde af te zien, moet nog gedeeld worden door het aantal volgordes van de drie kleuren; dat is 1·2·3 = 3!" Als je rekening houdt met de volgorde van de kleur kom je op 7·6·5 mogelijkheden = 210 mogelijkheden. Indien de kleuren in een willekeurige volgorde worden gekozen moet je nog delen door 1·2·3 = 6, wat het totaal op
7·5 mogelijkheden = 35 mogelijkheden brengt. Ik weet niet hoe je precies aan 15 mogelijkheden komt, dus mogelijk heb je de uitleg van Wikipedia verkeerd geïnterpreteerd.

[ABTTh]

Ja, ik ben er zeker van dat ik iets verkeerd lees. Ik heb het namelijk ook enkel over de eerste vraagstuk en benadering (niet de uitwerking).

"Voor de eerste kleurkeuze zijn er 7 mogelijkheden,"

Er zijn dus 7 kleuren

1,2,3,4,5,6,7

"Hoeveel kleurencombinaties zijn er mogelijk bij een keuze van drie kleuren uit de zeven kleuren van de regenboog?"

Dus

Kleur 1 + 2 + 3

Dan 1+2+4

1+2+5

126

127

134, 135, 136, 137

145, 146, 147

156, 157

167

= voor de 1e kleurkeuze zijn er 15 kleurencombinaties bestaande uit 3 kleuren (zonder rekening te houden met de volgorde van de kleuren)

??? Ik ga hier ergens de mist in...

[Safe]

Jouw uitwerking: bv 126, dus 162, 261, 216, 612, en 621 worden als identiek gezien.
Maw, bij iedere mogelijkheid zijn nog 5 andere identiek.
 
Maar waar zie ik  bv 234
 
Probeer dus het volgende: voor de eerste 7 keuzes , de tweede 6, de derde 5. Duidelijk een volgorde. 7*6*5 mogelijkheden
Maar 6(=3*2*1) volgorden zijn 'hetzelfde', dus als je niet op de volgorde let, moet je nog delen door 6. Je vindt dan: 7*5 mogelijkheden ongeacht de volgorde.

[mathfreak]

Je hebt de kleuren dus vervangen door de cijfers 1 t/m 7, dus combinatorisch gezien leidt dat tot de vraag wat het aantal mogelijkheden is om uit de cijfers 1 t/m 7 3 cijfers te kiezen. Voor het eerste cijfer heb je dan nog de keuze 1 t/m 7, dus dat geeft voor het eerste cijfer in totaal 7 mogelijkheden. Stel dat je met 1 begint, dan heb je nog 6 mogelijkheden om een volgende cijfer te kiezen, dus dat geeft voor de keuze van de eerste 2 cijfers in totaal 7·6 = 42 mogelijkheden. Bij een vastgelegde keuze van de eerste 2 cijfers blijft voor het laatst te kiezen cijfer nog een aantal van 5 mogelijke keuzes over, dus dat geeft in totaal 7·6·5 mogelijkheden = 210 mogelijkheden om uit de cijfers 1 t/m 7 3 cijfers te kiezen. Indien je niet op de volgorde let waarin je de 3 cijfers kiest moet je het totaal van 710 nog delen door het aantal mogelijke volgorden van 3 cijfers. Dit is 1·2·3 = 6, dus als je uit de cijfers 1 t/m 7 3 cijfers kiest zonder op de volgorde te letten geeft dat in totaal 7·5 mogelijkheden = 35 mogelijkheden.