Pietje Precies en de tensorrekening

[Professor Puntje]

Inmiddels ben ik zo ver dat ik denk door te hebben wat de bedoeling is in de tensorrekening. Om de puntjes op de i te zetten lijkt het mij een goed idee om zelf te proberen een inleidende tekst over de tensorrekening te schrijven. De vragen die ik daarbij nog heb zal ik in dit topic stellen.

Om te beginnen: klopt het onderstaande?

 

Laat S een

\( r_1 \choose s_1 \)

-tensor zijn bij vectorruimte (V,+, * ) en laat T een

\( r_2 \choose s_2 \)

-tensor zijn bij dezelfde vectorruimte (V,+, * ). Dan definiëren we de producttensor

\( S \otimes T \)

als die

\( r_1 + r_2 \choose s_1 + s_2 \)

-tensor bij vectorruimte (V,+, * ) waarvan het beeld:

\( (S \otimes T)(\mathbf{\hat{u}}_1, \mathbf{\hat{u}}_2, \dots , \mathbf{\hat{u}}_{r_1}, \mathbf{\hat{v}}_1, \mathbf{\hat{v}}_2, \dots , \mathbf{\hat{v}}_{r_2},\mathbf{u}_{r_1 + 1}, \mathbf{u}_{r_1 + 2}, \dots , \mathbf{u}_{r_1 + s_1}, \mathbf{v}_{r_2 + 1}, \mathbf{v}_{r_2 + 2}, \dots , \mathbf{v}_{r_2 + s_2}) \)

voor alle covectoren

\( \mathbf{\hat{u}}_i \)

en

\( \mathbf{\hat{v}}_i \)

uit V* en vectoren

\( \mathbf{u}_j \)

en

\( \mathbf{v}_j \)

uit V is gegeven door dat reële getal dat de uitkomst vormt van de onderstaande vermenigvuldiging:

 

\( S(\mathbf{\hat{u}}_1, \mathbf{\hat{u}}_2, \dots , \mathbf{\hat{u}}_{r_1}, \mathbf{u}_{r_1 + 1}, \mathbf{u}_{r_1 + 2}, \dots , \mathbf{u}_{r_1 + s_1}) \, \cdot \, T(\mathbf{\hat{v}}_1, \mathbf{\hat{v}}_2, \dots , \mathbf{\hat{v}}_{r_2}, \mathbf{v}_{r_2 + 1}, \mathbf{v}_{r_2 + 2}, \dots , \mathbf{v}_{r_2 + s_2}) \)

 

[Math-E-Mad-X]

Klopt!

[Professor Puntje]

Mooi! Eindelijk gaat het nu lukken.

[Professor Puntje]

De traagheidstensor staat in onderstaande link beschreven als een matrix:
 
https://nl.wikipedia.org/wiki/Traagheidsmoment#Traagheidsmoment_als_tensor
 
Ik heb mij echter als doel gesteld tensoren te begrijpen als een speciaal type multilineaire afbeeldingen naar R. Je kunt een afbeelding A van een driedimensionale vectorruimte met inproduct V naar V wel representeren door een multilineaire afbeelding T van VxV naar R. Dan krijgen we zoiets:
 

\( A(\vec{x}) \,\, \widehat{=} \,\, T(\vec{x}, \,\, ) \)

 
Daarbij representeert

\( T(\vec{x}, \,\, ) \)

voor iedere

\( \vec{x} \)

de bijbehorende unieke vector

\( \vec{y} \)

waarvoor:
 

\( (\forall \vec{z} \in \mbox{V})[\vec{y} \bullet \vec{z} \, = \, T(\vec{x}, \vec{z})] \)

 
 
Is dat de bedoeling? Het ziet er wat gekunsteld uit, maar aan de andere kant toont het wel de flexibiliteit in toepassingen van tensoren. Zit ik zo nog op het goede spoor?

[Math-E-Mad-X]

Ja, je zit nog steeds op het goede spoor.
 
Als T een mulitilineaire afbeelding van VxV naar R is, dan is

\(T(\vec{x}, \ \ )\)

een lineaire afbeelding van V naar R, oftewel een covector.
 
En via het inproduct kun je iedere covector relateren aan een vector, precies zoals jij doet.

[Professor Puntje]

Nog even een vraag over tensoren. Ik begrijp inmiddels de definitie van tensoren, maar het praktische rekenen ermee is nog een probleem. Er bestaan dusdanig veel rekenregels dat ik ze niet kan onthouden en snel het overzicht kwijt raak. Hoe gaan de kenners daarmee om? Moet je echt al die regels leren?

[Math-E-Mad-X]

Ik heb geen idee over welke rekenregels je het hebt. Alles wat je met tensoren doet volgt direct uit de definitie van een tensor als een multilineaire afbeelding. Daar valt niet zo heel veel aan te onthouden, lijkt me.
 
Althans, als je het over mathematische tensoren hebt (zoals in alle voorgaande posts in dit topic). Als je het over fysische tensoren hebt dan krijg je te maken met coordinaten transformaties.

[Professor Puntje]

Inderdaad tob ik met de rekenregels voor de componenten van tensoren en de diverse coördinaten-transformaties. En dan met name bij toepassingen binnen de ART.  

[Math-E-Mad-X]

Okee, maar dan nog snap ik niet helemaal welke rekenregels je dan allemaal bedoelt. Zoveel zijn er toch niet?

[Professor Puntje]

Mogelijk komt het door een gebrek aan inzicht van mijn kant? In de schoolse wiskunde zijn de rekenregels en stellingen min of meer vanzelfsprekend, en als ik eens iets kwijt ben kan ik dat meestal uit wat ik nog wel weet zelf opnieuw afleiden. Zo niet hier bij de tensorrekening. Zodra ik er wat verder in kom worden de formules alles behalve vanzelfsprekend en kan ik mij er ook nauwelijks nog iets bij voorstellen. Dat maakt het voor mij ook heel moeilijk om gevonden resultaten voor later gebruik te onthouden.

[flappelap]

Het enige dat je moet kennen zijn de transformatiematrices
 

\( \frac{\partial x^{'\mu}}{\partial x^{\nu}} \)

 
hun inverses en het idee dat tensors met meerdere indices transformeren als het tensorproduct van vectoren en covectoren.

[Professor Puntje]

Dus eigenlijk is het met de tensorrekening - zodra je het eenmaal doorhebt - niet anders dan met de schoolse wiskunde in dit zin dat je op zeker moment de logica en samenhang van het hele bouwwerk doorziet, en dan ook niet meer alle individuele regels en definities hoeft te memoriseren omdat je ze ook zelf wel opnieuw kunt bedenken?

[Math-E-Mad-X]

Inderdaad ja. Als je moeite hebt met het onthouden van de rekenregels dan denk ik dat je simpelweg nog net niet helemaal door hebt hoe alles logisch uit slechts een paar definities volgt.

[Professor Puntje]

Het enige dat je moet kennen zijn de transformatiematrices

\( \frac{\partial x^{'\mu}}{\partial x^{\nu}} \)

hun inverses en het idee dat tensors met meerdere indices transformeren als het tensorproduct van vectoren en covectoren.

Inderdaad ja. Als je moeite hebt met het onthouden van de rekenregels dan denk ik dat je simpelweg nog net niet helemaal door hebt hoe alles logisch uit slechts een paar definities volgt.

 

Dat is fijn om te horen, want ik heb een enorme hekel aan "kunstjes leren". In de wiskunde was dat laatste voor mij tot nog toe ook niet nodig omdat ik daar aan begrip al genoeg had. Maar het zag er naar uit dat de tensorrekening wel grotendeels op "stampwerk" berust, als dat niet zo is moet ik ook de tensorrekening op grond van inzicht onder de knie kunnen krijgen. Er zijn wat dat aangaat bij mij al wat centjes gevallen, en ik reken er nu op dat ik met genoeg gevallen centjes uiteindelijk ook tot het kwartje zal komen.

[flappelap]

Ikzelf vind het altijd verfrissend om Newtonse zaken door te rekenen waarvan je de uitkomst intuïtief al kent. Wat je bijvoorbeeld kunt doen, is om de beweging van een deeltje in een vlak in een zwaartekrachtspotentiaal, dus Newtons 2e wet, om te schrijven in poolcoördinaten. Je schrijft dan een versnelling in Cartesische coördinaten {x,y} om naar {r,theta} en als het goed is kun je meetkundig de termen interpreteren die je zo krijgt.
 
Op soortgelijke wijze kun je bijvoorbeeld ook de Corioliskracht en centrifguulkracht begrijpen door naar roterende stelsels te gaan. Je ziet dan beide "schijn"krachten voor je neus verschijnen door de transformatiewet. Dat laatste geval is een typisch voorbeeld van een niet-tensoriële uitdrukking, want de 2e wet van Newton is geen tensorvergelijking voor roterende stelsels (waarbij de rotatie tijdsafhankelijk is) of andere versnellingen. Waar een inertiaalwaarnemer immers F=0 zal meten zal een roterende waarnemer F = schijnkrachten meten. (In de algemene rel.theorie kun je dit soort "schijnkrachten" lokaal opvatten als connectietermen.)