Ik wil verzoeken met deze discussie te stoppen, want het leidt niet meer ergens toe.
@HansH: mijn ervaring, ook bij andere buitenlandse sites, is dat de deskundigen vooral wiskundige interesse en minder natuurkundig. Vragen over wat die wiskunde fysisch betekent kunnen ze niet beantwoorden en worden dan boos. Vereenvoudiging tot simpele (maar beperkte) situaties interresseert hen niet. Het is alles of niets. Misschien hebben ze daar ook wel gelijk in, dat weet ik niet, maar waar geen interresse is kun je ook geen antwoorden verwachten. Ik ben net als jij electronicus en ben altijd gewend geweest de uitkomst van wiskundige berekeningen door benaderingen te controleren of ze de juiste verwachte fysische uitkomst geven. Bij de ART is dat niet gebruikelijk.
@flappelap: jij bent waarschijnlijk de meest deskundige ART-wiskundige hier, dus daar staat nog de vraag van #1 open: wat is volgens de ART-formules de kromtestraal (zoals gedefineerd in
https://nl.wikipedia.org/wiki/Kromtestraal)van de ruimtetijd op het aardoppervlak die een versnellling van g geeft.
De kromtestraal zoals die daar gedefiniëerd wordt van een lijn is een mate van extrinsieke (!) kromming. Je embed de lijn (een 1-dimensionale variëiteit) in een 2-dimensionale vlakke ruimte zodat je de kromming van de lijn kunt beschrijven. De kromming van de ruimtetijd in de ART is echter intrinsiek (!). Je maakt geen gebruik van een embedding in een hoger dimensionale variëteit.
De intrinsieke kromming van jouw lijn zou overigens 0 zijn, omdat parallel transport van vectoren op een 1-dimensionale variëiteit geen variatie in de richting van die vectoren kan geven; de Riemann tensor is triviaal 0. En dat is tenslotte hoe je intrinsieke kromming definieert.
Ik kan dus geen antwoord op jouw vraag geven omdat deze volgens mij niet gedefinieerd is binnen de ART; daarvoor zou je de ruimtetijd moeten embedden in een hogerdimensionale ruimtetijd. Als je dat niet begrijpt, dan kun je opzoeken wat het verschil is tussen intrinsieke kromming (geen embedding) en extrinsieke kromming (wel embedding).
De formules die je in die Wikipedialink tegenkomt hebben betrekking op een vlakke meetkundige (dus 2-dimensionale) situatie die geheel van de meetkundige situatie van de ruimtetijd verschilt. Wiskundig gezien is de ruimtetijd op te vatten als een vierdimensionale Riemannvariëteit, waarbij de kromming van de ruimtetijd door middel van een zogenaamde krommingstensor wordt vastgelegd. Vanuit wiskundig oogpunt beschouwd is dit een heel stuk ingewikkelder dan de situatie in die Wikipedialink. De (denk)fout die jij lijkt te maken is dat een bepaald begrip uit de vlakke (differentiaal)meetkunde zonder problemen op een meerdimensionale (differentiaal)meetkunde is toe te passen, maar dat is dus niet zo.
Wellicht is het een goed idee dat ik hier even schets hoe Einstein uiteindelijk tot zijn vergelijkingen kwam. Toen Einstein in 1911 hoogleraar theoretische natuurkunde in Praag werd kreeeg hij van wiskundige Georg Pick het advies om gebruik te maken van wat men toen nog absolute differentiaalrekening noemde en wat we nu, sinds Einstein het ging gebruiken, tensorrekening noemen. Toen Einstein in 1912 in Zürich terugkeerde vroeg hij wiskundige Marcel Grossmann, zijn vroegere medestudent, om hulp bij het ontwikkelen van zijn algemene relativiteitstheorie. Grossmann maakte Einstein toen vertrouwd met de vierdimensionale Riemannmeetkunde, waarmee hij Einstein de wiskundige basis voor het ontwikkelen van zijn algemene relativiteitstheorie verschafte. 2 jaar later vertrok Einstein naar Berlijn om daar deel uit te maken van de beroemde Preussische Akademie der Wissenschaften. Omdat Einstein zich meer door natuurkundige argumenten liet leiden realiseerde hij zich niet dat de vergelijkingen die hij uitwerkte in eerste instantie niet klopten. Pas toen hij zorgvuldig naging hoe een en ander wiskundig gezien op de juiste manier in elkaar paste wist hij in de loop van november 1915 de juiste vergelijkingen op te stellen. Toen hij daarmee de afwijking in de baan van Mercurius bepaalde vond hij hetzelfde resultaat wat 19e-eeuwse astronomen hadden waargenomen, namelijk een periheliumverschuiving van 43 boogseconden per eeuw. Dit was voor hem het bewijs dat hij de juiste vergelijkingen had gevonden. In januari 1916 verscheen zijn algemene relativiteitstheorie als Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie in de nu nog steeds bestaande Annalen der Physik.
Eén vorm van de vergelijkingen die Einstein aanvankelijk voorstelde, was
\( R_{ab}= \kappa T_{ab} \)
maar deze voldoet niet aan covariant energiebehoud. Zijn juiste vergelijkingen
\( R_{ab} - \frac{1}{2}Rg_{ab} = \kappa T_{ab} \)
doen dat wel vanwege de Bianchi identiteiten. Maar mij lijkt dat beide vergelijkingen dezelfde precessie voor Mercurius voorspellen, aangezien de bijbehorende vacuümvergelijkingen in beide gevallen
\(R_{ab}=0\)
zijn. Ik weet niet hoe het historisch allemaal precies is gegaan, maar als Einstein de verkeerde vergelijkingen (mijn eerste vgl) had gebruikt, dan had hij grappig genoeg volgens mij toch de juiste hoeveelheid precessie voorspeld. Maar de Newtonse limiet zal niet juist zijn. Hoe dat precies te rijmen is, zou ik even moeten nagaan
