Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity

[Gast]

Ik moet het eerst iig even goed lezen voordat ik iets zinnigs kan zeggen. Want het zijn, zoals je al zegt, wat verwarrende vragen. Ook 12A. Dat p/E een snelheid geeft, al is het dimensieloos.

[Professor Puntje]

Klaar met hoofdstuk 1. Was goed te doen.

[Professor Puntje]

Uit het boek (zie de rood onderstreepte tekst):

Het hoofdstuk 22 bestaat niet, en zo blijf ik met het raadsel zitten wat die andere mathematical tools zijn die hetzelfde vermogen als tensoren. Wie weet dat?

[Gast]

Complexe algebra, zie bijv. comment 1. Chapter 18.
De Einstein veldvergelijkingen en tensors worden niet behandeld in dit boek.

[Professor Puntje]

algebra 1179 keer bekeken

Interessant! Zou het dan toch even goed (of slecht) zonder tensoren gaan?

[Gast]

Ik heb geen idee. Maar ik twijvel of ik het allemaal ga bestuderen. In ieder geval zal ik heel langzaam gaan. Want ten eerste tijd, maar ook denk ik wel eens .. waarom alle wiskunde willen begrijpen? (Tuurlijk geeft dat vele betere en diepere inzichten in Einsteins zwaartekracht .. maar het is ook een beetje in het eindeloze werken.)

Maar ik zal zien hoe het zich ontwikkeld. Heb het opgestuurd naar printshop.

Ik kreeg trouwens het volgende antwoord over exercise 12. Maar ik begrijp het niet, moet ik eerlijk zeggen. Jij?

Waarbij c/gamma 1/gamma moet zijn (de tweede x).

[Gast]

Misschien moet ik eerst mijn wiskunde weer wat opfrissen en bijspijkeren.

Wat zou een goed boek daarvoor zijn?

[Professor Puntje]

Ik werk graag stap voor stap. Dus mijn reactie bestaat weer uit meerdere berichtjes.

Laten we uitgaan van een beweging in de x-richting. Als dan in de gelijkheid van vraagstuk 12 A. de ds uit het tijdruimte interval (ds)² = (c dt)2 - (dx)2 bedoeld is krijg je middels delen door (c dt)² dat:

\(\)

\( \left ( \frac{\mathrm{d} s}{c \mathrm{d} t} \right )^2 = \left ( \frac{c \mathrm{d} t}{c \mathrm{d} t} \right )^2 - \left ( \frac{\mathrm{d} x}{c \mathrm{d} t} \right )^2 \)

\(\)

\( \left ( \frac{\mathrm{d} s}{c \mathrm{d} t} \right )^2 = 1 - ( \frac{v_x}{c} )^2 \)

\(\)

\( \left ( \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} \right )^2 = \frac{c^2}{\gamma^2} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} = \pm \frac{c}{\gamma} \)

\(\)

Maar dat levert ons iets anders dan (v_x/c)² . Dus ben ik het met je geciteerde antwoord eens dat hier met ds (of (ds)²) niet het tijdruimte interval bedoeld kan zijn. Een logischer interpretatie is dan dat ds de in het betreffende inertiaalstelsel door de steen in het tijdje dt afgelegde afstand voorstelt.

[Gast]

Ok, thanks.

Uhm ik schaam me er een beetje voor maar vraag het toch maar gewoon. Hoe leidt de eerste uitdrukking hiervan tot de tweede?

En waarom leidt dat enkel tot (v_x/c)²?

En .. hoe leidt de energie-impuls relatie tot v=E/p?

Begin wiskunde gek genoeg toch een beetje leuk te vinden voor het eerst in mijn leven. Puzzelen. Weet je misschien een goed wiskunde boek?

[Professor Puntje]

\( v_{inertiaal} = \left ( \frac{m_0 \, \gamma \, v}{m_0 \, \gamma \, c^ 2} \right )_{inertiaal} \cdot c^2 \)

\(\)

\( v_{inertiaal} = \left ( \frac{p}{E} \right )_{inertiaal} \cdot c^2 \)

\(\)

\( \frac{v_{inertiaal}}{c} = \left ( \frac{p}{E} \right )_{inertiaal} \cdot c \)

\(\)

\( \frac{v_{inertiaal}}{c} = \left ( \frac{p/c}{E/c^2} \right )_{inertiaal} \)

\(\)

Is dat te volgen?

[Professor Puntje]

Ik weet niet hoe het met je wiskunde-kennis staat, maar kijk hier eens naar:

https://staff.fnwi.uva.nl/j.vandecraats ... nde2HP.pdf

https://staff.fnwi.uva.nl/j.vandecraats ... undeHP.pdf

[Professor Puntje]

\( \left ( \frac{\mathrm{d} s}{c \mathrm{d} t} \right )^2 = 1 - ( \frac{v_x}{c} )^2 \)

\(\)

\( \left ( \frac{\mathrm{d} s}{c \mathrm{d} t} \right )^2 = \frac{1}{ \,\, \frac{1}{ 1 - ( \frac{v_x}{c} )^2 } \,\, } \)

\(\)

\( \left ( \frac{\mathrm{d} s}{c \mathrm{d} t} \right )^2 = \frac{1}{ \,\, \left ( \sqrt{ \frac{1}{ 1 - ( \frac{v_x}{c} )^2 } } \right )^2 \,\, } \)

\(\)

\( \left ( \frac{\mathrm{d} s}{c \mathrm{d} t} \right )^2 = \frac{1}{ \,\, \left ( \frac{\sqrt{1}}{ \sqrt{ 1 - ( \frac{v_x}{c} )^2 } } \right )^2 \,\, } \)

\(\)

\( \left ( \frac{\mathrm{d} s}{c \mathrm{d} t} \right )^2 = \frac{1}{ \,\, \left ( \frac{1}{ \sqrt{ 1 - ( \frac{v_x}{c} )^2 } } \right )^2 \,\, } \)

\(\)

\( \left ( \frac{\mathrm{d} s}{c \mathrm{d} t} \right )^2 = \frac{1}{ \gamma^2 } \)

\(\)

\( \left ( \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} \right )^2 = \frac{c^2}{\gamma^2} \)

[Professor Puntje]

En waarom leidt dat enkel tot (v_x/c)²?

Daar leidt het juist niet toe. En daarom is de interpretatie van ds als het tijdruimte interval in dit vraagstuk kennelijk ook niet de bedoeling. Dit eerste bewijs was dan ook bedoeld om een mogelijk misverstand uit de weg te ruimen.

[Professor Puntje]

En .. hoe leidt de energie-impuls relatie tot v=E/p?

Het is voor een steen toch juist het omgekeerde?

[Gast]

\( v_{inertiaal} = \left ( \frac{m_0 \, \gamma \, v}{m_0 \, \gamma \, c^ 2} \right )_{inertiaal} \cdot c^2 \)

\(\)

\( v_{inertiaal} = \left ( \frac{p}{E} \right )_{inertiaal} \cdot c^2 \)

\(\)

\( \frac{v_{inertiaal}}{c} = \left ( \frac{p}{E} \right )_{inertiaal} \cdot c \)

\(\)

\( \frac{v_{inertiaal}}{c} = \left ( \frac{p/c}{E/c^2} \right )_{inertiaal} \)

\(\)

Is dat te volgen?

Ja, dat is niet moeilijk. De rest zal ik morgen lezen.
Hier is de afleiding voor v=p/E (c=1)

Was inderdaad omgekeerd. Foutje.