recursieve rij

[ukster]

a_n = 3a_n-1 - 7a_n-2
a₀=2, a₁= -3

Product 2600 keer bekeken

Klopt het dat de algemene reeksterm a_n een complexe uitdrukking is welke reële reekstermen geeft?

[Xilvo]

Ik zie geen complexe waardes ontstaan.

a_n=(3a_n+1-a_n+2)/7

n a_n
-3 -0,069970845
-2 0,265306122
-1 1,285714286
0 2
1 -3
2 -23
3 -48
4 17

Dat geeft voor het product 2687,683397

[ukster]

Die is er wel...
Ik heb deze methode toegepast om de expressie voor a(n) te vinden waarmee elke reeksterm snel berekend kan worden, wat in sommige gevallen misschien handig zou kunnen zijn.

a₅₀=2,75.10²¹
a_-30=7,0586.10^-13
ik neem aan dat jij deze recursie numeriek in python hebt opgelost?

[Xilvo]

Je kunt iedere a_n schrijven als lineaire combinatie met reële coëfficiënten van de twee vorige (of twee volgende) termen.
De twee gegeven waardes zijn reëel, dus zijn alle ander dat ook.

Ik begrijp bij jou de overgang van regel 2 naar regel 3 niet.

Ik heb in dit geval de waardes met Excel berekend.

[ukster]

Ik begrijp bij jou de overgang van regel 2 naar regel 3 niet.

bedoel je dit?

we krijgen dan de expressie voor a(n) in gesloten vorm

[Xilvo]

Duidelijk. Ik kom op dezelfde waardes voor a₅₀ en a_-30.

Maar ik zie geen complexe waardes

[ukster]

ik bedoelde dat de gesloten uitdrukking voor a(n) van complexe vorm is..
alle reekstermen zijn uiteraard reëel

[tempelier]

ik bedoelde dat de gesloten uitdrukking voor a(n) van complexe vorm is..
alle reekstermen zijn uiteraard reëel

Ik heb het zelfde gevonden met Maple. ( via resolve)

Het resultaat is wel merkwaardig.

[ukster]

Bedoel je dat het merkwaardig is dat a(n) een complexe expressie is? hoeft niet altijd!
Het hangt af van de coëfficiënten en tekens van de recursieve reeks.
bijvoorbeeld: a_n = a_n-1 + 6a_n-2
a₀=2, a₁= -3

[tempelier]

War merk waardig is dat als er pseudo-geïnterpoleerd wordt er toch reële waarden uit komen.

[RedCat]

Als de karakteristieke vergelijking complexe oplossingen geeft, dan zijn deze elkaars complex geconjugeerden.
Dus de oplossing van je recursie heeft deze vorm:
a[n] = (a+bi)(r+si)^n + (c+di)(r-si)^n
Omdat a[0] reeel is, moet bi+di=0 zijn, ofwel d=-b:
a[n] = (a+bi)(r+si)^n + (c-bi)(r-si)^n
Omdat ook a[1] reeel is, moet asi-csi=0 zijn, ofwel (want s is ongelijk nul) c=a:
a[n] = (a+bi)(r+si)^n + (a-bi)(r-si)^n

Definieer:

\(p = \sqrt{a^2+b^2}\)

\(\theta = \text{atan}(b/a)\)

\(q = \sqrt{r^2+s^2}\)

\(\phi = \text{atan}(s/r)\)

dan kan je de oplossing van de recursie ook schrijven als:

\(a[n] = p\cdot e^{i\theta} \cdot \left( q \cdot e^{i\phi} \right)^n + p\cdot e^{-i\theta} \cdot \left( q \cdot e^{-i\phi} \right)^n\)

\(= pq^n\left[ e^{i(n\phi+\theta)} + e^{-i(n\phi+\theta)} \right]\)

\(=2pq^n \cos(n\phi+\theta)\)

(noot: je ziet nu mooi het periodieke karakter van de recursieve rij)

Voor jouw vergelijking kom ik uit op:

\(a[n]=2\sqrt{\frac{55}{19}} \cdot \left(\sqrt{7}\right)^n \cos\left(n\cdot\text{atan}\left(\frac{\sqrt{19}}{3}\right)+\text{atan}\left(\frac{6}{\sqrt{19}}\right)\right)\)

en zo zijn we weer terug in de reële wereld.


PS:
De situatie van zuiver imaginaire oplossingen van de karakteristieke vergelijking laat ik aan jou over.

[ukster]

Knap gevonden..