Maximum versnelling van alfadeeltje?

[jkien]

Is het mogelijk om de versnelling te berekenen van een alfa-deeltje dat uitgezonden wordt door een radionuclide? Het alfa-deeltje tunnelt uit de kern, en als hij de tunnel verlaat neemt zijn kinetische energie snel toe van nul tot de eindwaarde E, de energie van het vrije alfa-deeltje. De afstand r₀ waar zijn kinetische energie nul is kan bepaald worden door E gelijk te stellen aan de elektrostatische potentiele energie: \( E = \frac{f q Q}{r_0} \Rightarrow r_0 = \frac{f q Q}{E}\)
De versnelling bij \(r = r_0\), ten gevolge van de afstotende Coulombkracht, is: \(a_0 = \frac{F}{m} = \frac{f q Q}{{r_0}^2 m} = \frac{f q Q}{\left(\frac{f q Q}{E}\right)^2 m} = \frac{E^2}{f q Q m} \).

Bijvoorbeeld, als het alfa-deeltje ontstaat door het kernverval van Po-214, met E=5,4 MeV, dan is \(r_0 = 4⋅10^{-14} m\) en \(a_0 = 3⋅10^{27} \frac{m}{s^2}\).

Het interessante aan deze alfadeeltjes is dat ze voortdurend geproduceerd worden in je lichaam, vele keren per seconde. De gemiddelde mens is een alfa-bron met een activiteit van ongeveer 20 Bq van polonium-210 (d.w.z. 0.1 femtogram, gelukkig veel minder dan de fatale microgram van de moord op Litvinenko in 2006) en 20 Bq van lood-210. (link)

[physicalattraction]

Klopt die berekening wel? De kern heeft weliswaar 84 protonen, maar er cirkelen ook elektronen om de kern die deze Coulombkracht afschermen, toch?

[jkien]

Vergelijk r₀ = 0,04 pm (pm = picometer = 10^-12 m) met de straal van de binnenste elektronenschil, de 1s-orbitaal, r₁. Er geldt \(r_1 \approx \frac{r_{Bohr}}{Z}\), met r_Bohr = bohrstraal = 50 pm, zodat r₁ ≈ 0,5 pm voor polonium.

Dus het alfadeeltje ontstaat veel dichter bij de kern dan de binnenste orbitaal. Daarom denk ik dat er aanvankelijk geen sprake is van afscherming door de elektronen.

[Marko]

Daarom denk ik dat er aanvankelijk geen sprake is van afscherming door de elektronen.

Dan nog zal de relatieve permittiviteit een heel stuk hoger zijn dan 1 met zoveel geladen deeltjes in de buurt.

Daarbij, de elektronlading bevindt zich ook deels in de kern en vlak daaromheen, dus een zekere afscherming is er altijd. Maar op de ordegrootte van de versnelling zal het niet veel invloed hebben; de relatieve permittiviteit wel.

[jkien]

Dan nog zal de relatieve permittiviteit een heel stuk hoger zijn dan 1 met zoveel geladen deeltjes in de buurt.

Ik weet het niet. De elektronenwolk ziet niets gebeuren tijdens de kortdurende versnelling van het alfadeeltje. Bij een versnelling van 3⋅10²⁷ m/s² bereikt het alfadeeltje vanuit rust in een tijd van 6⋅10^-21 s een snelheid van 1,6⋅10⁷ m/s, dat is de eindsnelheid van een 5,4 MeV alfadeeltje. In die korte tijd heeft hij slechts 0,04 picometer afgelegd. Hij is dus nog heel dicht bij de kern, veel dichter bij de kern dan de 1s-orbitaal. De elektronenwolk reageert niet zo snel, lijkt me.

[flappelap]

Is het mogelijk om de versnelling te berekenen van een alfa-deeltje dat uitgezonden wordt door een radionuclide?

Je kunt in de kwantummechanica een deeltje geen versnelling toedichten "voor een meting" (tenzij je de Bohmse interpretatie aanhangt). Dat is een klassiek idee. Daarom werken we in de KM ook met energie ipv kracht.

[jkien]

Maar op grote afstand van de moederkern kan het vrije alfadeeltje wel klassiek versneld worden, bijvoorbeeld in een deeltjesversneller, een elektrisch veld, of een magneetveld.

Op welke afstand van de moederkern ligt de overgang tussen klassiek en kwantummechanica dan? Misschien zo: als het alfadeeltje tunnel verlaat met snelheid nul, dan is de debrogliegolflengte oneindig. Het alfadeeltje is dan een quantummechanische golf, en die heeft misschien geen welgedefinieerde versnelling. Als de debrogliegolflengte van een deeltje de lengteschaal aanduidt waarvoor de golfachtige eigenschappen belangrijk zijn voor dat deeltje, dan moet r tenminste 10x groter zijn dan de debrogliegolflengte λ. Voor deze golflengte geldt \(\lambda = h/p\) en \(p=\sqrt{2 m (E-kqQ/r)}\). Dan is \(r\approx 10\, \lambda\) voor \(r=2 r_0\), en de versnelling is \(a = \left(\frac{r0}{r}\right)^2a_0 = 0.7⋅10^{27} \frac{m}{s^2}\). Dat is mijn schatting voor de orde van grootte van de maximum versnelling van dit 5,4 MeV alfadeeltje.

[physicalattraction]

Ik weet het niet. De elektronenwolk ziet niets gebeuren tijdens de kortdurende versnelling van het alfadeeltje. Bij een versnelling van 3⋅10²⁷ m/s² bereikt het alfadeeltje vanuit rust in een tijd van 6⋅10^-21 s een snelheid van 1,6⋅10⁷ m/s, dat is de eindsnelheid van een 5,4 MeV alfadeeltje. In die korte tijd heeft hij slechts 0,04 picometer afgelegd. Hij is dus nog heel dicht bij de kern, veel dichter bij de kern dan de 1s-orbitaal. De elektronenwolk reageert niet zo snel, lijkt me.

Ik ben het met je eens dat op zulke korte tijdschalen zelfs relatief snelle elektronen niet effectief kunnen afschermen. Toch wantrouw ik die klassieke berekening voor de berekening. Ten eerste durf ik niet te beweren dat op zulke korte afstanden de sterke kernkracht geen invloed heeft. Ten tweede vraag ik me af waarom het deeltje dan "maar" tot 1,6⋅10⁷ m/s versnelt terwijl het de elektronenwolk dan nog niet is tegengekomen.

[jkien]

Toch wantrouw ik die klassieke berekening voor de berekening. Ten eerste durf ik niet te beweren dat op zulke korte afstanden de sterke kernkracht geen invloed heeft. Ten tweede vraag ik me af waarom het deeltje dan "maar" tot 1,6⋅10⁷ m/s versnelt terwijl het de elektronenwolk dan nog niet is tegengekomen.

Over de sterke kernkracht: daarvan is het bereik ongeveer 0,001 pm (pm = 10^-12 m). in mijn berekening komt de alfadeeltje tevoorschijn bij r₀ = 0,04 pm, dus buiten het bereik van de sterke kernkracht. Dat is ook het principe van het tunneleffect van alfaverval, dat het alfadeeltje vanuit de kern naar buiten tunnelt naar een gebied waar de sterke kernkracht verwaarloosbaar is t.o.v. de elektrische afstotende kracht.

Een naieve voortzetting van mijn idee: bij het alfadeeltje kan ik me voorstellen dat de onzekerheidsrelatie van Heisenberg een bovengrens aan de versnelling oplegt. Klassiek geldt voor een deeltje dat van rust naar snelheid v versnelt, in tijd Δt en over afstand Δx, dat \(a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v^2}{2 \Delta x}\). Vanwege de onzekerheidsrelatie is \(\Delta x > \frac{\hbar}{\Delta p} = \frac{2 \hbar}{m v}\), dus \(a \leq \frac{m v^3}{4\hbar}= 0.7⋅10^{27} \frac{m}{s^2}\). De door de onzekerheidsrelatie opgelegde bovengrens maakt mijn schatting dat \(a = 0.7⋅10^{27} \frac{m}{s^2}\) dus niet onmogelijk. De bovengrens is gelijk aan de mijn schatting, dat zal wel geen toeval zijn.

[jkien]

De berekening van de maximale versnelling van een alfadeeltje is misschien beter van toepassing (meer klassiek) op de proef van Rutherford, waarbij sommige alfadeeltjes 180º terugkaatsen op een goudatoomkern, zodat het alfadeeltje voor en na de botsing een deeltje is. De versnelling heb ik hierboven naief uitgerekend, maar ik zoek nog een beetje bij welke kleine afstand tot de kern het alfadeeltje kwantummechanisch geen versnelling kan worden toegedicht, zoals flappelap leek te suggereren.

[physicalattraction]

Een naieve voortzetting van mijn idee: bij het alfadeeltje kan ik me voorstellen dat de onzekerheidsrelatie van Heisenberg een bovengrens aan de versnelling oplegt. Klassiek geldt voor een deeltje dat van rust naar snelheid v versnelt, in tijd Δt en over afstand Δx, dat \(a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v^2}{2 \Delta x}\). Vanwege de onzekerheidsrelatie is \(\Delta x > \frac{\hbar}{\Delta p} = \frac{2 \hbar}{m v}\), dus \(a \leq \frac{m v^3}{4\hbar}= 0.7⋅10^{27} \frac{m}{s^2}\). De door de onzekerheidsrelatie opgelegde bovengrens maakt mijn schatting dat \(a = 0.7⋅10^{27} \frac{m}{s^2}\) dus niet onmogelijk. De bovengrens is gelijk aan de mijn schatting, dat zal wel geen toeval zijn.

Interessante berekening! Ik heb hem even nagerekend, ik kom op dezelfde grootte orde uit, alleen heb ik ook nog een factor 2 in de teller staan die er bij jou uit is gevallen.

Het blijft een beetje blind formulewerk echter. We vullen hier de uiteindelijke snelheid van 1,6⋅10⁷ m/s in, maar hebben eigenlijk weinig aanleiding om precies deze snelheid te gebruiken.

[jkien]

Je kunt in de kwantummechanica een deeltje geen versnelling toedichten "voor een meting" (tenzij je de Bohmse interpretatie aanhangt).

In mijn ogen is dat een merkwaardige bewering, omdat voor een deeltje geldt: a = (1/m) dp/dt. Je bewering lijkt te impliceren dat de impuls van het alfadeeltje ongedefinieerd is als het kwantummechanisch wordt beschreven, en dan vermoed ik dat die kwantummechanische beschrijving verlangd wordt als het alfadeeltje dicht bij de kern komt. Misschien is er iets verstopt in de cryptische frase "toedichten voor een meting" dat mij op het verkeerde been zet (ik begrijp de frase in ieder geval niet goed)?

Het blijft een beetje blind formulewerk echter. We vullen hier de uiteindelijke snelheid van 1,6⋅10⁷ m/s in, maar hebben eigenlijk weinig aanleiding om precies deze snelheid te gebruiken.

Misschien lijkt het minder arbitrair als ik in \(a < \frac{m v^3}{4\hbar}\) de snelheid vervang door de energie van het alfadeeltje (E = ½mv²), omdat die energie voor elke isotoop met alfaverval een bekend gegeven is: \(a < \sqrt{\frac{E^3}{2m \hbar^2}}\)

[Gast]

maar ik zoek nog een beetje bij welke kleine afstand tot de kern het alfadeeltje kwantummechanisch geen versnelling kan worden toegedicht

Dat begrijp ik niet. Acceleratie kan (natuurlijk) wel beschreven/behandeld worden in kwantummechanica. Een operator in de QM relateert de toestand van het systeem (gekenmerkt door de golffunctie) aan een werkelijke waarnemer. Dus een acceleratie operator zou je de waarschijnlijkheidsamplitude vertellen die kenmerkt hoe waarschijnlijk het is dat het systeem een ​​bepaalde versnelling heeft.
Dus er wordt gebruik gemaakt van een acceleratie operator, zoals hieronder, maar dat is geen makkelijke materie .. iig niet voor mij.

https://physics.stackexchange.com/quest ... 7050#67050

[jkien]

Verder kan acceleratie (natuurlijk) wel beschreven/behandeld worden in kwantummechanica.

Prima. Ik dacht flappelap stelde dat je in de kwantummechanica een deeltje geen versnelling kunt toedichten. Maar ik wacht zijn antwoord af, want de tweede helft van zijn bewering begreep ik niet, mogelijk bedoelde hij iets heel anders. En dan hoef ik inderdaad niet te zoeken op welke kleine afstand van de kern de versnelling van het alfadeeltje een betekenisloos begrip zou zijn.

Je kunt in de kwantummechanica een deeltje geen versnelling toedichten "voor een meting" (tenzij je de Bohmse interpretatie aanhangt). Dat is een klassiek idee.

Misschien helpt het om te specificeren dat het me, denk ik, gaat om de beweging van het zwaartepunt van de golffunctie van het alfadeeltje.

[flappelap]

Verder kan acceleratie (natuurlijk) wel beschreven/behandeld worden in kwantummechanica.

Prima. Ik dacht flappelap stelde dat je in de kwantummechanica een deeltje geen versnelling kunt toedichten. Maar ik wacht zijn antwoord af, want de tweede helft van zijn bewering begreep ik niet, mogelijk bedoelde hij iets heel anders. En dan hoef ik inderdaad niet te zoeken op welke kleine afstand van de kern de versnelling van het alfadeeltje een betekenisloos begrip zou zijn.

Je kunt in de kwantummechanica een deeltje geen versnelling toedichten "voor een meting" (tenzij je de Bohmse interpretatie aanhangt). Dat is een klassiek idee.

Misschien helpt het om te specificeren dat het me, denk ik, gaat om de beweging van het zwaartepunt van de golffunctie van het alfadeeltje.

Late reactie, maar ala: ik bedoelde "een specifieke waarde voor een grootheid voordat je gaat meten". Detail, zie ik nu, dus niet belangrijk.