Oefening over eigenfrequentie trommels

[ukster]

De trommels draaien in tegengestelde richting. Ze ondersteunen een homogeen bord met massa m. De coëfficiënt van kinetische wrijving tussen de trommels en het bord is µ.
Zal ω voorkomen in de expressie van de eigenfrequentie?

eigenfrequentie 2608 keer bekeken

[Xilvo]

De frequentie waarmee het bord heen en weer beweegt zal in ieder geval afhangen van ω en van de verhouding tussen statische en dynamische wrijvingscoëfficiënten.

[ukster]

Niet dus, en de statische wrijvingcoefficient heeft er ook niets mee van doen.
Intuïtief had ik al zo'n vermoeden dat de eigenfrequentie van dit systeem onafhankelijk is van de hoeksnelheid van de trommels, maar dat wordt hier pas duidelijk nadat het bewijs is geleverd.

[wnvl1]

De lengte van het bord lijkt mij ook relevant om de reactiekrachten te berekenen.

[ukster]

Free Body Diagram (FBD)

FBD 2425 keer bekeken

DV 2425 keer bekeken

[Xilvo]

Uitwerken geeft dan \(\omega=\sqrt{\frac{2\mu g}{2}}\)

Als bijvoorbeeld de hoeksnelheden van de trommels heel hoog is, is dat het hele verhaal.
Maar de statische wrijving gaat meespelen als ω.r van een trommel gelijk wordt aan de momentane snelheid van het bord.

Dus alleen als blijkt dat dat niet kan optreden (of alleen even bij het instellen van een stabiele situatie) kan die buiten beschouwing blijven.

[Xilvo]

Numerieke simulatie:

M=1 kg
g=9,81 m/s2
a=1 m
r_trommel=0,2 m
x_begin=0,7 m
μ_d=0,2
μ_s=0,4

Bovenste grafiek: ω=20 rad/s, alleen dynamische wrijving
Onderste grafiek: ω=2 rad/s, omtreksnelheid van een trommel kan gelijk worden aan bordsnelheid, ook statische wrijving.

[ukster]

Ja, dus een zuiver harmonische trilling.

eigenfrequentie 2381 keer bekeken

hoe ziet de DV er nu in het andere geval eruit?, jouw simulatie toont immers een trilling bestaande uit meerdere frequenties

[Xilvo]

Ik weet niet hoe je dit mooi in een DV kunt schrijven.

Als de omwentelingssnelheden van de trommels groot genoeg zijn dan duwt de linkertrommel het bord altijd naar rechts, de rechter het bord naar links met een kracht die alleen afhangt van de dynamische wrijvingscoëfficiënt en de normaalkrachten.
Als de dynamische wrijvingscoëfficiënt gelijk zou zijn aan de statische en de omwentelingssnelheden worden klein genoeg, dan kan het bord bijvoorbeeld ook een kracht naar rechts ondervinden door de rechtertrommel (v_bord<-ω.r). Daar heb je een sign-functie voor nodig.
Is dan ook nog eens de statische wrijvingscoëfficiënt groter dan de dynamische, dan moet je in het programma kijken of ze t.o.v. elkaar "stilstaan" (absolute snelheidsverschil < grenswaarde).

Allemaal best te programmeren maar niet zo makkelijk als DV op te schrijven, lijkt me.

[ukster]

ik ging ervan uit dat je het model had gevonden, anders kun je geen simulatie doen met het getoonde resultaat ..

[Xilvo]

Ik heb een model geprogrammeerd waarbij ik rekening houd met de richting van het snelheidsverschil tussen trommels en bord en waarbij ik overga van dynamische naar statische wrijving als het absolute snelheidsverschil onder een zekere waarde komt.

[wnvl1]

Bij een verplaatsing x gaat de grootte van N1 en N2 toch afhankelijk zijn van de breedt van het bord. Waarom zit dat niet in de formule? Je hebt toch niet automatisch N1 = N2 = mg/2.

[Xilvo]

Tikfout, die 2 in de noemer moet natuurlijk a zijn, zoals bij Ukster.
\(\omega=\sqrt{\frac{2\mu g}{a}}\)

[wnvl1]

Bij een verplaatsing x gaat de grootte van N1 en N2 toch afhankelijk zijn van de breedt van het bord. Waarom zit dat niet in de formule? Je hebt toch niet automatisch N1 = N2 = mg/2.

Ik snap het intussen.

[Xilvo]

Als de hoeksnelheid \(\omega\) van de trommels voldoende groot is krijg je een harmonische (sinusvormige) trilling met frequentie \(f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2\mu g}{a}}\)

Als de hoeksnelheid heel klein wordt krijg je een driehoekig verloop met amplitude \(A=\frac{a(\mu_s-\mu_d)}{2(\mu_s+\mu_d)}\) en frequentie \(f=\frac{\omega r}{4A}\)