De Poissonverdeling

[aadkr]

Laat zien dat als p=klein en n is groot, dat dan de binomiale verdeling benaderd kan worden door de Poissonverdeling. dus:
b(k;n,p)=p(k;lambda) met lambda=n.p
het = teken hierboven lezen als ( is bij grote nauwkeurigheid gelijk aan)

wordt vervolgd.

[aadkr]

[aadkr]

Voorbeeld 1
Wanneer bekend is dat 4 % van de Nederlandse bevolking ouder is dan 70 jaar, hoe groot is dan de kans dat in een willekeurige samengestelde groep van 100 personen juist 3 personen ouder zijn dan 70 jaar??
Voor dit probleem geldt: n=100 p=0,04 en k=3
De binomiaalformule:
P(x=3)=(100 boven 3) . (0,04)^3 . (0,96)^97=0,1973
H.P.Anderson stelt dat als n groter is dan 10 en als p kleiner is dan 0,1 dat je dan de binomiaalverdeling mag vervangen door de poissonverdeling.
Dit geldt hier.
P(x=3)=4^3 . e^(-4)/3!=0,1952
We kunen de afwijking kleiner maken door n groter te maken en p kleiner maken.
Bijvoorbeeld: n=200 p=0,05
geeft lambdea =10
of n=400 p=0,025
dus lambda = constant.

[tempelier]

Klopt netjes hoor.

PS.
De afwijking is nauwelijks (wel als voorbeeld) van belang want die 4% is vast niet als te precies.

[aadkr]

Voorbeeld:2
Hoe groot is de kans om in een steekproef van 100 produkten uit een partij met 20 % foutieve produkten juist 25 fouten aan te treffen.
Oplossing: Met n=100 p=0,20 en k=25 geeft de berekening volgens de binomiaalformule:
P(x=25)=(100 boven 25) .(0,20)^25 . (0,80)^75=0,0439
Omdat er niet is voldaan aan p<0,10 , mogen we dit vraagstuk niet oplossen m.b.v. de Poissonformule.
Doen we dit toch, dan vinden we met lambda=100.0,20=20
P(x=25)=(20)^25. e^(-20)/25!=0,0469
een uitkomst die dan wel niet sterk van de met de binomiaalformule berekende uitkomst afwijkt, maar die toch niet op verantwoorde wijze is verkregen en bovendien toch ook nog veel rekenwerk met zich meebrengt.
Lossen we echter het vraagstuk op met de normale benadering van de binomiale verdeling voor n=100 en p=0,20 (hetgeen hier is toegestaan omdat er voldaan is aan n=>(9.(1-p)/p)=36) dan vinden we :
Als x1=24,5, is u1= Absolute waarde van (24,5-20)/4=1,125 zodat alpha(1)=0,1303
Als x2 =25,5 is u2 =absolute waarde van ( 25,5-20)/4=1,375 zodat alpha(2)=0,08455
De gevraagde kans is dus bij benadering gelijk aan P(x=25)=0,1303-0,08455=0,04575
Deze uitkomst ligt dichter bij de werkelijke waarde 0,0439 dan de uitkomst 0,0469 van de Poissonformule.