[natuurkunde] Uitwerking 2.20 Fundamentals of Physics door R. Shankar

[NoAcars]

De vraag luidt:
Wanneer je een projectiel wegschiet met snelheid v0 onder een hoek θ vanaf hoogte 0m en je wil de bovenkant van een gebouw raken met hoogte h en afstand d, welke θ is dan nodig?

Mijn uitwerking:
Voor de horizontale verplaatsing geldt
d=v0cosθ * t', met t' het tijdstip waarop het projectiel aankomt op afstand d en hoogte h.
Dus t' = d / (v0cosθ)

Dit invoeren in de verticale verplaatsing:
h = v0sinθ * t' - 1/2gt'^2 =d tanθ - (g*d^2) / 2v0^2cos^2θ en hier krijg ik door verder uit te werken de θ niet afgezonderd.

Het antwoord luidt: θ = arctan (2h/d)

Ik kom daar in de verste verte niet bij in de buurt. En ik vind het ook gek dat de gravitatie g er niet in voorkomt.

Wie o wie helpt me uit de brand?

[Xilvo]

Het is niet alleen vreemd dat g er niet in voorkomt, het is ook vreemd dat v₀ er niet in voorkomt.

Het is altijd handig een extreem voorbeeld te kiezen om te zien of de formule klopt.
Als v₀ extreem groot wordt ("oneindig") en/of als g=0, dan wordt de baan een rechte lijn en moet gelden θ = arctan (h/d).
Volgens mij is het antwoord fout. Heb je het volledige vraagstuk hier geplaatst?

Edit: Als bedoeld wordt dat de hoogte h ook het hoogste punt is dat het projectiel bereikt, dan klopt het wel en is het eenvoudig op te lossen.

[Xilvo]

Opmerking moderator

Verplaatst naar het forum "Huiswerk en Practica".

[NoAcars]

Ik denk dat je gelijk hebt en dat de vraag dusdanig luidt dat hoogte h het hoogste punt van de parabool is. (En dat daar dus precies het gebouw staat).

Maar dan mis ik alsnog de eenvoudige weg die je zegt.

Ik kom tot:
Dan geldt h = h + v0sinθ - 1/2 g t'^2 en bijgevolg: t' = 2v0sinθ / g
en voor de horizontale verplaatsing: d=v0cosθt' en bijgevolg t'=d/v0cosθ
Deze 2 zijn uiteraard aan elkaar gelijk en dan volgt cos2θ = dg / v0^2 en derhalve θ=arccos(dg/v0^2) / 2

[Xilvo]

Het kan veel eenvoudiger. De baan is een parabool. Stel het hoogste punt y=h ligt bij x=0. Dan is de hoogte y=0 bij x=d.
Bepaal die vergelijking en de afgeleide (=tan(θ)) bij x=d.

[NoAcars]

Grrr, lukt niet. Er zit sowieso een fout in mijn y(t). Deze moet zijn y(t)=0+v0sinθ - 1/2gt^2. (en niet y(t)=h+....)
Maar wel fijn dat je zo snel reageert. Ik wil deze likdoorn verwijderen. Overigens komt chatgpt er ook niet uit

In jouw voorstel:
y(t)=h - 1/2gt^2 en x(t)=v0cosθt
Met h=0 voor t', dan t' = sqrt(2h/g) en t' = d/(v0cosθ). De boel gelijkstellen en θ = arccos(d/(v0sqrt(2h/g))

[Xilvo]

Vergeet die bewegingsvergelijkingen, je weet toch al dat de baan een parabool is.
Stel de vergelijking van die parabool op, met de eisen die ik in m'n vorige bericht schreef.

[NoAcars]

ok, dan y(x)=h - (h/d^2)x^2 en dus y'(x)=-2h/d^2*x en derhalve y'(d)=-2h/d. Het minteken mag ook plus geschreven worden. Is immers dezelfde hoek (overstaande hoeken).
Tja, dan zijn we er inderdaad. Raaklijn maakt deze hoek θ met x-as.

Interessant. Even out-of-the-box denken.

Dank u!