[wiskunde] is dit toegestaan

[Luc4s]

Ik haat mezelf voor het feit dat ik dit weer moet vragen, maar een vriend vroeg aan mij of dit toegestaan was.

Dit was de vraag:

En dit de uitwerking van de methode:

We snappen gewoon niet wat hier gebeurd eigenlijk. Want waarom halen ze ineens die twee integralen van elkaar af? Ik dacht dat dat alleen gelde voor niet-omsloten vlakdelen. Het gaat trouwens om b

[wnvl1]

Dat is juist.

De oppervlakte onder de bovenste rode curve verminderd met de oppervlakte onder de onderste rode curve is het blauwe oppervlak. En dan transformeren ze nog \(y \rightarrow \pi y^2\) om er een omwentelingsvolume van te maken.

[HansH]

Ik haat mezelf voor het feit dat ik dit weer moet vragen

geen probleem, daar is het forum voor en anderen vinden het ook leuk om zich in probleempjes waar mensen mee worstelen te verdiepen, ook snappen waarom mensen tegen problemen aan lopen en hoe ze denken is verhelderend. Dat zouden sommige leraren op school nog als verbeterpunt kunnen zien voor zichzelf.

[Luc4s]

Ik haat mezelf voor het feit dat ik dit weer moet vragen

geen probleem, daar is het forum voor en anderen vinden het ook leuk om zich in probleempjes waar mensen mee worstelen te verdiepen, ook snappen waarom mensen tegen problemen aan lopen en hoe ze denken is verhelderend. Dat zouden sommige leraren op school nog als verbeterpunt kunnen zien voor zichzelf.

Erg opgelucht om te horen dat de gebruikers van dit forum dit niet als last ervaren!

[Luc4s]

Dat is juist.

De oppervlakte onder de bovenste rode curve verminderd met de oppervlakte onder de onderste rode curve is het blauwe oppervlak. En dan transformeren ze nog \(y \rightarrow \pi y^2\) om er een omwentelingsvolume van te maken.

Aha, heel erg bedankt, dan weet ik tenminste dat ik ongeveer denk in de juiste richting . Echter vraag ik mij wel af hou ik dit zou moeten uitleggen aan mijn docent. Ik krijg namelijk een mondeling en de vraag zal dat zijn: 'leg uit wat er hier gebeurd? Waarom verminder je een integraal van een ander? Waarom klopt dit? Waarom is dit de beste methode?'

Om eerlijk te zeggen kan ik geen van deze vragen beantwoorden. Zou u alstublieft mij wat inzicht kunnen bieden.
Dit zijn de theorieblokken waarmee het verklaard zou moeten kunnen worden (en nog basis integraalrekening):

theorie A:

en theorie B:

[RedCat]

Jouw theorie A1 plaatje, eerste vergelijking:

Als f(x) een functie is met primitieve F(x), dan is

\(\small \displaystyle \int_{x=a}^{b} f(x)\;dx = \left[ F(x) \right]_{x=a}^b = F(b) - F(a)\)

en

\(\small \displaystyle \int_{x=b}^{a} f(x)\;dx = \left[ F(x) \right]_{x=b}^a = F(a) - F(b)\)

dus

\(\small \displaystyle \int_{x=b}^{a} f(x)\;dx = F(a) - F(b) = -(-F(a) + F(b)) = -(F(b) - F(a)) = -\int_{x=a}^{b} f(x)\;dx\)


Jouw theorie A1 plaatje, tweede vergelijking:

\(\small \displaystyle \int_{x=a}^{b} f(x)\;dx + \int_{x=b}^{c} f(x)\;dx = \left[ F(x) \right]_{x=a}^b + \left[ F(x) \right]_{x=b}^c = F(b) - F(a) + F(c) - F(b) = F(c) - F(a)\)

en dit is gelijk aan

\(\small \displaystyle \int_{x=a}^{c} f(x)\;dx = \left[ F(x) \right]_{x=a}^c = F(c) - F(a)\)


In het algemeen bepaal je het oppervlak A tussen een grafiek van f(x) en de x-as tussen x=a en x=b waarbij a<b door de integraal

\(\small \displaystyle A = \int_{x=a}^{b} f(x)\;dx \)

(zolang f(x) tussen x=a en x=b volledig boven de x-as ligt (zoals ook in dit probleem het geval is), anders moeten we nog iets extra's doen)


Dit pas je toe op je vraagstuk:

int3abc 11074 keer bekeken

Voor het oppervlak van het groene gedeelte (plaatje C) dat we willen weten geldt:

oppervlak groen (C) = oppervlak geel (A) - oppervlak blauw (B)

= (oppervlak onder het rode gedeelte van je curve) - (oppervlak onder het blauwe gedeelte van je curve)

\(\small \displaystyle = \int_{x=0}^{4} y_{\text{rood}}\;dx - \int_{x=0}^{4} y_{\text{blauw}}\;dx\)

Dan overschakelen naar t:
- voor de rode curve is de ondergrens \(x=0\) gelijk aan \(t=\pi\) en de bovengrens \(x=4\) gelijk aan \(t=\frac{1}{2}\pi\)
- voor de blauwe curve is de ondergrens \(x=0\) gelijk aan \(t=0\) en de bovengrens \(x=4\) gelijk aan \(t=\frac{1}{2}\pi\)

dat geeft:

oppervlak groen (C) \(\small \displaystyle = \int_{t=\pi}^{\frac{1}{2}\pi} y(t)\;dx(t) - \int_{t=0}^{\frac{1}{2}\pi} y(t)\;dx(t)\)

Keer je de integratiegrenzen van je eerste integraal om:

oppervlak groen (C) \(\small \displaystyle = - \int_{t={\frac{1}{2}\pi}}^\pi y(t)\;dx(t) - \int_{t=0}^{\frac{1}{2}\pi} y(t)\;dx(t)\)

en dan tel je beide op:

(***) oppervlak groen (C) \(\small \displaystyle = - \int_{t=0}^\pi y(t)\;dx(t)\)

en werk dit uit:

oppervlak groen (C) \(\small \displaystyle = - \int_{t=0}^\pi 4\sin (t) - 2\sin(2t) \;d(4\sin (t)) = ... = - \left( -\frac{32}{3} \right) = \frac{32}{3}\)


De voorlaatste vergelijking (aangegeven met (***)) krijg je ook via je Theorie B plaatje uit jouw post:

- je curve loopt linksom = positief = tegen de klok in
- (de kleinste waarde van t) = a = 0
- (de grootste waarde van t) = b = \(\pi\)

Dus het oppervlak \(\small \displaystyle O(V) = \int_{t=\pi}^0 y(t)\;dx(t) = - \int_{t=0}^\pi y(t)\;dx(t)\)


Om een lang verhaal kort te maken: je uitkomsten kloppen.

[RedCat]

PS: ik zie nu dat je nog een vraag had over de integraalkeuze:

Waarom is dit de beste methode?

We hebben de keuze tussen

\(\small \displaystyle O(V) = \int_{t=\pi}^0 y(t)\;dx(t) = - \int_{t=0}^\pi y(t)\;dx(t) = - \int_{t=0}^\pi (4\sin (t) - 2\sin(2t) )(4\cos(t))\;dt\)

en

\(\small \displaystyle O(V) = \int_{t=0}^\pi x(t)\;dy(t) = \int_{t=0}^\pi 4\sin (t) \;d(4\sin (t) - 2\sin(2t)) = \int_{t=0}^\pi (4\sin (t))(4\cos (t) - 4\cos (2t) )\;dt\)

In dit geval maakt onze keuze niet veel uit: beide integralen zijn vergelijkbaar wat betreft moeilijkheidsgraad: geen van beide integralen is duidelijk eenvoudiger te berekenen dan de andere.

[Luc4s]

Heel erg bedankt voor de mega uitleg. Ik begrijp het nu ook helemaal!!:)
Bedankt dat je de tijd en moeite neemt om het zo gedetailleerd uit te leggen!!