Geneste wortels

[PeterPan]

\(f(x) = \sqrt{-1+3\sqrt{-1+3\sqrt{-1+3x}}}\)

Los op

\(f(x) = x\)

.

Wat is het maximale domein van f?

[Lucas N]

Beste,

f(x)=x

Gelet op het repeterend karakter van f(x), wil je dat x niet verandert, als je hem vermenigvuldigt met 3, een eraf haalt en de wortel neemt.

Ik los op x=sqrt(-1+3x) en vind

x=(3-5^.5)/2 of x=(3+5^.5)/2

Domein

Je wil -1+3x groter dan 0,

dus x groter dan 1/3

p.s.

Nummeriek oplossen (met grafische rekenmachine)

1 begin met een willekeurig getal, wg

2 Bereken (-1+3*wg)^.5

3 noem het antwoord weer wg

4 begin weer bij stap 2

zo blijkt de 2e oplossing een "attracktor"

[Lucas N]

Peterpan,

Wat betreft het domein, ging ik iets te snel door de bocht.

De eerste oplossing valt erbuiten, zie ik op mijn grafische rekenmachine.

Ben wel benieuwd hoe je dat berekent.

[PeterPan]

Je hebt 1 oplossing gevonden. Hoe toon je aan dat er geen meer zijn?

[*gast_Lucas N_*]

Een oplossing, omdat de wortel(wortel(wortel) funktie minder snel stijgt dan x, vanaf de oplossing.

Domein x groter dan 829/2178

[PeterPan]

\(f(x) = \sqrt{-1+3\sqrt{-1+3\sqrt{-1+3x}}}\)

Voor het domein moet

\(-1+3\sqrt{-1+3\sqrt{-1+3x}}\geq 0 \)

zijn.

dat wil zeggen

\(-1+3\sqrt{-1+3x}\geq \left(\frac13\right)^2 \)

(en tevens

\(-1+3\sqrt{-1+3x}\geq 0 \)

)

ofwel

\(\sqrt{-1+3x}\geq \frac{10}{27}\)

ofwel

\(-1+3x\geq \left(\frac{10}{27}\right)^2\)

(en tevens

\(-1+3x\geq 0\)

).

Dus maximale domein is

\([\frac{829}{2187},\infty)\)

.

Zoals Lucas N opmerkte zijn de oplossingen van de vergelijking

\(x = \sqrt{-1+3x}\)

oplossingen van

\(f(x) = x\)

voor zover de oplossingen binnen het definitiegebied van f liggen.

\(x = \sqrt{-1+3x}\)

kunnen we schrijven als

\(x^2 - 3x + 1 = 0\)

.

De oplossingen hier zijn

\(\rho_1 = \frac{2 - \sqrt{5}}{2}\)

en

\(\rho_2 = \frac{2 + \sqrt{5}}{2}\)

.

Alleen

\(\rho_2\)

ligt binnen het domein van f.

Om aan te tonen dat dit de enige oplossing is bekijken we 2 gevallen.

Stel

\(x > \rho_2\)

.

Dan kun je eenvoudig aantonen dat voor zulke x geldt

\(\sqrt{-1+3x} > x ( > \rho_2)\)

.

Herhaal dit kunstje nog 2 maal en je komt uit op

\(f(x) > x\)

.

Analoog geeft

\(x < \rho_2\)

uiteindelijk

\(f(x) < x\)

.

Er is dus inderdaad maar 1 oplossing.

[EvilBro]

Volgens mij heeft deze vraag wel degelijk twee oplossingen:

\(x_1 = \frac{3-\sqrt{5}}{2}\)

\(x_2 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}\)

[PeterPan]

Klopt.

\(\frac{3-\sqrt{5}}{2} \approx 0,382\)

en domein is

\([0,379\cdots , \infty ) \)