Inductiebewijs

[Jannemann]

Ik loop even vast met mijn inductiebewijs, kan iemand me de benodigde regels vertellen?

[x^a - y^a] + [x^a-1 - y^a-1]

Dit moet worden [x^a+1 - y^a+1] en ik weet dat het gewoon heel eenvoudig is, maar ik ben het kwijt :eusa_whistle:

[EvilBro]

Het is mij niet duidelijk wat je precies wilt.

[Jannemann]

Ik wil laten zien dat (x^a - y^a) + (x^{a-1} - y^{a-1}) = x^{a+1} - y^{a+1}

[Klintersaas]

Die stelling klopt volgens mij niet, al kan dat komen omdat ik de notatie verkeerd interpreteer. Stel bijvoorbeeld x=3, y=2 en a=5. Dan is:

\((x^a - y^a) + (x^{a-1} - y^{a-1}) = 3^5-2^5+3^4-2^4 = 276 \neq 665 = 3^6 - 2^6 = x^{a+1} - y^{a+1}\)

[Jannemann]

Oh dan doe ik blijkbaar iets fout, ik ben dit aan het doen: Fibonacci / gulden snede bewijs

F(n-1) + F(n-2) = formule van binet bewijzen met volledige inductie.

[Safe]

Waarom begin je niet gewoon met je probleemstelling?

[Klintersaas]

De oorspronkelijke opgave geven is inderdaad altijd een goed idee. Als het over de formule van Binet gaat, heb je misschien ook wat aan deze topic.

[Jannemann]

Omdat ik dacht dat dit al op de goede weg was, omdat het ook volgens de sheets klopt.

Bewijs F(n-1) + F(n-2) = 1/sqrt5 [ {(1+sqrt5)/2}^n - {(1-sqrt5)/2}^n ] bewijzen dmv volledige inductie.

Neem aan dat bovenstaande klopt, bewijs het nu voor n+1:

F(n) + F(n-1) = 1/sqrt5 [ {(1+sqrt5)/2}^n+1 - {(1-sqrt5)/2}^n+1 ]

1/sqrt5 [ {(1+sqrt5)/2}^n - {(1-sqrt5)/2}^n ] + F(n-1) moet dan worden 1/sqrt5 [ {(1+sqrt5)/2}^n+1 - {(1-sqrt5)/2}^n+1 ] maar hoe ik daar kom, daar loop ik vast.

[Klintersaas]

Dus dit is de eigenschap die je moet bewijzen:

\(F(n-1) + F(n-2) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right) \)

, dus:

\(F(3-1) + F(3-2) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^3 - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^3\right) \)

Vervolgens stel je dat "de stelling geldt voor een zekere n" en formuleer je als inductiehypothese dat "de stelling geldt voor n+1". Dat wordt dan:

\(F(n) + F(n-1) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right) \)

[TD]

Verplaatst naar huiswerk.

[Jannemann]

@ Klinterklaas, ik weet dat het niet supergeformuleerd was, en ik heb ook precies staan zoals jij het zegt, alleen weet ik niet hoe ik moet omgaan met latex e.d. dus vandaar dat ik het zo neerzette.

Maar datgene klopt dus blijkbaar niet, zoals jij eerder zelf al liet zien. Dus doe ik iets fout, maar wat?