Waarom is pi oneindig...

[TomWaits]

Zolang ik het begrip pi niet snap is wiskunde voor mij geen 'exacte wetenschap'. Als een cirkel perfect rond is, waarom kan pi hier dan oneindig zijn?

Verder vraag ik mij af hoe men al die decimalen experimenteel heeft kunnen afleiden.

Heeft de wiskunde trouwens al een antwoord op de grilligheid van het getal pi, of zit er toch een zekere wederkerende tendens in.

[In physics I trust]

Van wiki:

De animatie toont hoe π experimenteel bepaald kan worden. De diameter van de cirkel is 1 genomen. Als de cirkel wordt afgerold, blijkt de omtrek van de cirkel ruim driemaal de diameter te zijn. Bij iedere cirkel is de verhouding tussen omtrek en diameter hetzelfde, en die grootheid noemen we dus π.

( http://nl.wikipedia.org/wiki/Pi_(wiskunde) )

Pi is niet oneindig, maar heeft oneindig veel decimalen zonder dat je ze echt kan voorspellen (geen patroon).

Dus waarom zou wiskunde daardoor niet exact zijn? Je kan immers bewijzen dat pi én irrationaal is, én transcendent. Dat is toch juist wel exact? Je kan wiskundig bewijzen wat de gedaante van pi is...

Als dat niet mooi is!

[TD]

Je bedoelt het waarschijnlijk goed, maar je drukt je verkeerd uit: pi is helemaal niet "oneindig"... Het getal pi is eindig, het ligt tussen 3 en 4. Het aantal cijfers na de komma in decimale voorstelling, is oneindig.

[Rogier]

Als een cirkel perfect rond is, waarom kan pi hier dan oneindig zijn?

Zoals genoemd is alleen de decimaalontwikkeling van pi oneindig. Dit geldt ook voor een getal zoals 1/3: dat is 0.333333enzovoort. Vind je dat ook een probleem?

Hier een andere manier om pi zelf uit te rekenen:



Neem een cirkel met een diameter van bijvoorbeeld 10 cm. Leg een vijfhoek in de cirkel (rood) en om de cirkel (groen). Van beide vijfhoeken kun je heel makkelijk de omtrek berekenen. De omtrek van de cirkel moet tussen die twee getallen in zitten, en die is per definitie pi keer de diameter.

Als je nu in plaats van twee vijfhoeken, opnieuw hetzelfde doet met twee zeshoeken, zevenhoeken, 38-hoeken, enzovoort, komen de twee veelhoeken twee steeds dichter op elkaar te liggen. En omdat de omtrek van de cirkel daar telkens tussenin ligt, krijg je steeds nauwkeuriger de omtrek. En dus ook de waarde van pi, zo nauwkeurig als je maar wil.

Pi is niet oneindig, maar heeft oneindig veel decimalen zonder dat je ze echt kan voorspellen (geen patroon).

Merk op dat er een formule is om direct een willekeurige hexadecimaal (een decimaal maar dan in hexadecimale notatie) van pi te bepalen, zonder eerst de voorgaande te hoeven bepalen. Een opmerkelijk simpele formule zelfs, voor zo'n ogenschijnlijk grillig onregelmatig getal als pi.

[E.Desart]

Zolang ik het begrip pi niet snap is wiskunde voor mij geen 'exacte wetenschap'.

](*,) Een grappige redenering. Als al wat ik niet zou snappen inhoud dat ik dit niet beschouw als exacte wetenschap, is exacte wetenschap maar een beperkt terreintje.

[TomWaits]

Morgen neem ik de proef op de som door een 'perfecte' cirkel te tekenen en met wat meetwerk kan ik pi zelf afleiden. Dat is wetenschap.

Ik snap intussen ook dat pi een eindig getal is, dat gelegen is tussen 3.14 (en nog oneindig veel getallen) en 3.15.

De grilligheid van pi blijft voor mij wel nog een raadsel...

Ach, zo blijven we bezig en dat is uiteindelijk wel de bedoeling. ](*,)

Bedankt trouwens!

[klazon]

De grilligheid van pi blijft voor mij wel nog een raadsel...

Zo grillig is pi niet. Het is gewoon de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel.

Het enige grillige er aan is dat dit getal in het tientallig stelsel niet in een eindig aantal cijfers achter de komma is uit te drukken. En in de overige getalstelsels ook niet, voor zover ik weet.

[jadatis]

Ik vraag me af of PI in een andertallig stelsel mogelijk wel een eindig aantal decimalen heeft, of hoe dat dan mag heten in dat andertallig stelsel, decimalen is van 10 tallig afgeleid.

voorbeeld Hexadecimaal binair of 31 tallig stelsel.

[ZVdP]

Wel, in een stelsel waarbij pi=1 natuurlijk.

Ik ben het nog nooit tegengekomen, maar mijn prof mechanica heeft er ooit kort iets over gezegd.

In ons stelsel hebben we:

\(Opp_{vierkant}=z^2\)

\(Opp_{cirkel}=\pi r^2\)

Je kan dus 'exact' de oppervlakte uitdrukken van vierkanten (met rationale zijdes), maar dit is niet zo voor cirkels (met rationale straal).

Als je dus veel cirkels hebt, kan je pi gelijk aan 1 nemen. De formules worden dan:

\(Opp_{vierkant}=\frac{z^2}{\pi}}\)

(met de decimale waarde van pi=3.14...)

\(Opp_{cirkel}=r^2\)

Hierdoor wordt de oppervlakte van een eenheidscirkel dus 1 (ipv dat de oppervlakte van een eenheidsvierkant 1 is).

Oppervlakten van vierkanten worden dan wel weer lastiger.

Maar dus zoals ik al zei; ik heb dit nog nooit ergens in gebruik gezien.

[Rogier]

Wel, in een stelsel waarbij pi=1 natuurlijk.

Nou is dat geen "stelsel" als in "n-tallig stelsel" (zoals bijvoorbeeld decimaal, binair of hexadecimaal), want zulke stelsels hebben alleen betrekking op de notatie van een getal, waarbij n een natuurlijk getal is (dus niet pi).

[jadatis]

Na het hond uitlaten bedacht ik mezelf ook al het antwoord.

Dan zou er ook al een breuk gevonden zijn die het exacte antwoord gaf.

voorbeeld: stel dat het 22/7 zou zijn geweest dan zou in zeventalligstelsel het 3,1 geweest zijn.

En zolang die breuk niet gevonden is , is ook het getalstelsel niet te bepalen.

Dat van het pi talligstelsel zou betekenen dat je een oneindig aantal getallen in het stelsel nodig hebt .

[Rogier]

Ik vraag me af of PI in een andertallig stelsel mogelijk wel een eindig aantal decimalen heeft, of hoe dat dan mag heten in dat andertallig stelsel, decimalen is van 10 tallig afgeleid.

voorbeeld Hexadecimaal binair of 31 tallig stelsel.

Nee, dat is onmogelijk. Anders zou pi te schrijven zijn als breuk, en aangezien pi geen rationaal getal is kan dat niet.

[Onwetend]

Ik vraag me af of PI in een andertallig stelsel mogelijk wel een eindig aantal decimalen heeft, of hoe dat dan mag heten in dat andertallig stelsel, decimalen is van 10 tallig afgeleid.

voorbeeld Hexadecimaal binair of 31 tallig stelsel.

wel in het pi-tallig stelsel in ieder geval... maar dan worden 1, 2, 3, enz, weer oneinig achter de komma. Het getal pi is eigenlijk een soort van sleutel om bogen (het polaire stelsel) en rechte lijnen (xyz-stelsel) in elkaar om te rekenen. Het zijn twee verschillende manieren om de lengte van een bepaald object te benaderen/omschrijven, maar de twee manier sluiten blijkbaar niet sluitend op elkaar aan.

[klazon]

wel in het pi-tallig stelsel in ieder geval... maar dan worden 1, 2, 3, enz, weer oneinig achter de komma.

Dan verplaats je het probleem alleen maar.

Als je stelt dat pi de verhouding is tussen omtrek en diameter van een cirkel, dan zal toepassing van een pi-tallig stelsel niks oplossen.

[zipporade]

Mijn vader zegt pi hard te kunnen maken in 2 getallen achter de komma: 3,15! Hij heeft hier een hele theorie over en hij heeft ook instrumenten gemaakt waarmee hij dat aan kan tonen. Nu wil hij graag met iemand hierover praten, maar we weten niet zo goed waar we moeten beginnen.

Kortom, we zijn op zoek naar iemand die openstaat voor deze theorie en mijn vaders verhaal wil horen (en zien!). Wie weet waar we terecht kunnen? Is er bijvoorbeeld een uni die hiervoor openstaat??

Groet,

Zippora de Jonge

Dordrecht

ps. voor contact kun je via dit forum mij antwoorden en misschien kunnen we dan iets afspreken...